Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície
e pede para esboçar o gráfico dessa superfície.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As variáveis são
. - A equação impõe que a coordenada
vale sempre , sem restrição em e . - O objetivo é representar geometricamente, no espaço tridimensional, o conjunto de pontos que satisfazem essa equação.
Passo 2
Entendendo o que a equação significa (interpretação básica).
Quando uma equação envolve apenas uma das coordenadas e fixa seu valor, ela define um plano paralelo aos eixos das outras duas coordenadas. Aqui, significa: a coordenada
é sempre zero, e
e
podem ser quaisquer números reais. Em linguagem de conjuntos:
Quando uma equação envolve apenas uma das coordenadas e fixa seu valor, ela define um plano paralelo aos eixos das outras duas coordenadas. Aqui,
Isto é, a superfície é formada por todos os pontos com
.
Passo 3
Identificando qual plano é esse no sistema de coordenadas.
Os planos coordenados usuais são:
Os planos coordenados usuais são:
-
é o plano (plano horizontal), -
é o plano , -
é o plano .
Portanto,é o plano que contém os eixos e (o "plano ").
Passo 4
Propriedades úteis para esboçar:
- Vetor normal: qualquer plano da forma
tem vetor normal . Aqui a equação pode ser escrita como , logo o vetor normal é . Isso confirma que o plano é perpendicular ao eixo . - Interseções com eixos: o plano
intercepta os eixos e em todos os pontos desses eixos (porque nesses eixos ). A interseção com o eixo é apenas o ponto origem (já que e dá a origem). - Seções por planos paralelos: para qualquer valor fixo de
a interseção com o plano vertical é a reta paralela ao eixo ; para qualquer a interseção com o plano horizontal é a reta paralela ao eixo . Esses cortes ajudam a visualizar o plano como uma folha infinita.
Passo 5
Como desenhar à mão (passo a passo prático para o esboço):
- Desenhe três eixos passando por um ponto que será a origem: eixo
apontando para a direita, eixo apontando para cima e eixo ligeiramente inclinado para dentro/para trás da página (o senso comum é desenhar saindo para trás da página). - Marque o eixo
e o eixo . O plano é a folha que passa pelo eixo (horizontal) e pelo eixo (vertical). Então trace uma folha / retângulo fino que contenha esses dois eixos — essa folha representa o plano . - Para sugerir profundidade, faça a borda mais próxima sólida e a borda que “sai para trás” pontilhada ou mais clara. Sombras ou hachuras leves ajudam a indicar que é uma superfície plana infinita.
- Indique o vetor normal
desenhando uma seta saindo perpendicular à folha (no sentido do eixo ).
Passo 6
Como justificar rapidamente durante a prova (resumo que dá pontos):
- Escreva que a superfície é
. - Observe que o vetor normal é
, então o plano é perpendicular ao eixo . - Conclua que é o plano
(plano que contém os eixos e ). Em termos de equação cartesiana, é exatamente .
Passo 7
Exemplos relacionados para treinar e fixar a ideia (rápido):
-
: plano paralelo ao plano , deslocado para . -
: plano (superfície horizontal). -
: plano (contém os eixos e ).
Fazer esses esboços ajuda a entender que fixar uma coordenada dá sempre um plano paralelo aos eixos das outras duas coordenadas.
Passo 8
Checagem final — características que confirmam o esboço:
- A superfície é plana e infinita nas direções
e . - É simétrica em relação ao plano (passa pela origem).
- Qualquer ponto do plano tem a forma
.
Resposta
O gráfico é o plano
, i.e., o plano
:
.