Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície \;y=0\; e pede para esboçar o gráfico dessa superfície.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As variáveis são \;x,y,z\in\mathbb{R}\;.
  • A equação impõe que a coordenada y vale sempre \;0\;, sem restrição em x e z.
  • O objetivo é representar geometricamente, no espaço tridimensional, o conjunto de pontos que satisfazem essa equação.

Passo 2

Entendendo o que a equação significa (interpretação básica).
Quando uma equação envolve apenas uma das coordenadas e fixa seu valor, ela define um plano paralelo aos eixos das outras duas coordenadas. Aqui, \;y=0\; significa: a coordenada y é sempre zero, e x e z podem ser quaisquer números reais. Em linguagem de conjuntos:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=0\} = \{(x,0,z)\mid x\in\mathbb{R},\\ z\in\mathbb{R}\}.
Isto é, a superfície é formada por todos os pontos com y=0.

Passo 3

Identificando qual plano é esse no sistema de coordenadas.
Os planos coordenados usuais são:
  • \;z=0\; é o plano xy (plano horizontal),
  • \;x=0\; é o plano yz,
  • \;y=0\; é o plano xz.
    Portanto, \;y=0\; é o plano que contém os eixos x e z (o "plano xz").

Passo 4

Propriedades úteis para esboçar:
  • Vetor normal: qualquer plano da forma ax+by+cz=d tem vetor normal (a,b,c). Aqui a equação pode ser escrita como 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0, logo o vetor normal é (0,1,0). Isso confirma que o plano é perpendicular ao eixo y.
  • Interseções com eixos: o plano \;y=0\; intercepta os eixos x e z em todos os pontos desses eixos (porque nesses eixos y=0). A interseção com o eixo y é apenas o ponto origem (já que x=z=0 e y=0 dá a origem).
  • Seções por planos paralelos: para qualquer valor fixo de x=x_0 a interseção com o plano vertical x=x_0 é a reta \{(x_0,0,z)\} paralela ao eixo z; para qualquer z=z_0 a interseção com o plano horizontal z=z_0 é a reta \{(x,0,z_0)\} paralela ao eixo x. Esses cortes ajudam a visualizar o plano como uma folha infinita.

Passo 5

Como desenhar à mão (passo a passo prático para o esboço):
  1. Desenhe três eixos passando por um ponto que será a origem: eixo x apontando para a direita, eixo z apontando para cima e eixo y ligeiramente inclinado para dentro/para trás da página (o senso comum é desenhar y saindo para trás da página).
  2. Marque o eixo x e o eixo z. O plano \;y=0\; é a folha que passa pelo eixo x (horizontal) e pelo eixo z (vertical). Então trace uma folha / retângulo fino que contenha esses dois eixos — essa folha representa o plano xz.
  3. Para sugerir profundidade, faça a borda mais próxima sólida e a borda que “sai para trás” pontilhada ou mais clara. Sombras ou hachuras leves ajudam a indicar que é uma superfície plana infinita.
  4. Indique o vetor normal (0,1,0) desenhando uma seta saindo perpendicular à folha (no sentido do eixo y).

Passo 6

Como justificar rapidamente durante a prova (resumo que dá pontos):
  • Escreva que a superfície é \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}.
  • Observe que o vetor normal é (0,1,0), então o plano é perpendicular ao eixo y.
  • Conclua que é o plano xz (plano que contém os eixos x e z). Em termos de equação cartesiana, é exatamente \;y=0\;.

Passo 7

Exemplos relacionados para treinar e fixar a ideia (rápido):
  • \;y=2\;: plano paralelo ao plano xz, deslocado para y=2.
  • \;z=0\;: plano xy (superfície horizontal).
  • \;x=0\;: plano yz (contém os eixos y e z).
    Fazer esses esboços ajuda a entender que fixar uma coordenada dá sempre um plano paralelo aos eixos das outras duas coordenadas.

Passo 8

Checagem final — características que confirmam o esboço:
  • A superfície é plana e infinita nas direções x e z.
  • É simétrica em relação ao plano (passa pela origem).
  • Qualquer ponto do plano tem a forma (x,0,z).

Resposta

O gráfico é o plano y=0, i.e., o plano xz: \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}.

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