Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar (desenhar) o gráfico da superfície dada pela equação
.
Informações que o enunciado dá:
- A equação é
. - As variáveis envolvidas são
, e (embora não apareça explicitamente na equação).
Pergunta concreta: representar geometricamente a superfície no espaço
correspondente a essa equação.
Passo 2
Isolar
para ver a forma da superfície. A partir de
temos:
Explicação didática: escrever a equação como
alguma coisa ajuda a interpretar a superfície como um gráfico de uma função de
(aqui) e possivelmente de
. Note que nesta expressão
depende só de
e não depende de
.
Passo 3
Consequências da independência em relação a
.
Como
não depende de
, para cada valor fixo de
a equação dá o mesmo
para todos os
. Geometricamente isso significa que a superfície é formada por uma reta (no plano
) estendida em todas as direções paralelas ao eixo
. Em outras palavras: é um plano que é paralelo ao eixo
.
Passo 4
Encontrar pontos e interseções úteis para desenhar.
- Interseção com o plano
(plano ): colocar em dá
Logo a interseção com o plano
é a reta
. No desenho, no plano
marca-se o ponto
e a reta vertical (paralela ao eixo
) que passa por ele.
- Interseção com o plano
(plano ): colocar dá
Logo a interseção com o plano
é a reta
. No desenho, marca-se o ponto
e a reta paralela a
passando por ele.
- Interseção com o plano
(plano ): colocando a superfície corta esse plano na reta
que é a reta do plano
que passa por
e por
.
Observação: a superfície não passa pelo eixo
(ponto
não satisfaz a equação).
Passo 5
Vetores diretores e vetor normal (para compreensão).
- O vetor normal ao plano pode ser lido dos coeficientes de
na forma . Assim o normal é
Significado:
é perpendicular ao plano.
- Dois vetores do plano (vetores diretores) podem ser escolhidos como:
Esses dois vetores são linearmente independentes e geram o plano.
Passo 6
Forma paramétrica (útil para plotar pontos da superfície).
Tomando o ponto base
(obtido ao fazer
), a superfície pode ser escrita em forma paramétrica com parâmetros
:
Isto dá todas as combinações lineares que formam o plano. Outra forma equivalente, usando
e
como parâmetros, é:
Passo 7
Como esboçar passo a passo no papel (manual, sem software).
- Desenhe um sistema de eixos
, , (com para a direita, saindo para cima/para fora do papel e vertical, ou qualquer convenção que você prefira). - No plano
marque o ponto . - No plano
marque o ponto . - Desenhe a reta no plano
que passa por e (essa é a interseção com o plano ). - A partir dessa reta, desenhe linhas paralelas ao eixo
(ou imagine estender a reta ao longo do eixo ) — isso gera o plano completo. Para dar noção de superfície, desenhe outra reta paralela a passando por algum ponto intermediário da reta inicial (por exemplo passando por ). - Identifique o vetor normal
desenhando uma seta perpendicular ao plano para indicar inclinação.
Dica prática: para visualizar a inclinação no plano
lembre que quando
aumenta de
para
,
aumenta de
para
(sobe 6 unidades quando
sobe 4 unidades), pois a inclinação no plano
é
.
Passo 8
Resumo verbal intuitivo (para gravar na prova):
- A superfície
é um plano oblíquo paralelo ao eixo . - Na seção
constante aparece sempre a mesma reta . - Interceptos úteis: passa por
e por . - Forma paramétrica:
.
Resposta
Plano dado por
; interceptos
e
; plano paralelo ao eixo
; forma paramétrica
,
.