Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
3 x-2 z-12=0

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar (desenhar) o gráfico da superfície dada pela equação 3x-2z-12=0.
Informações que o enunciado dá:
  • A equação é 3x-2z-12=0.
  • As variáveis envolvidas são x, y e z (embora y não apareça explicitamente na equação).
Pergunta concreta: representar geometricamente a superfície no espaço \mathbb{R}^3 correspondente a essa equação.

Passo 2

Isolar z para ver a forma da superfície. A partir de 3x-2z-12=0 temos:
-2z = -3x + 12 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{3}{2}x - 6.
Explicação didática: escrever a equação como z= alguma coisa ajuda a interpretar a superfície como um gráfico de uma função de x (aqui) e possivelmente de y. Note que nesta expressão z depende só de x e não depende de y.

Passo 3

Consequências da independência em relação a y.
Como z não depende de y, para cada valor fixo de x a equação dá o mesmo z para todos os y. Geometricamente isso significa que a superfície é formada por uma reta (no plano y=0) estendida em todas as direções paralelas ao eixo y. Em outras palavras: é um plano que é paralelo ao eixo y.

Passo 4

Encontrar pontos e interseções úteis para desenhar.
  • Interseção com o plano z=0 (plano xy): colocar z=0 em 3x-2z-12=0
3x-12=0 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Logo a interseção com o plano z=0 é a reta \{(4,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}. No desenho, no plano z=0 marca-se o ponto (4,0,0) e a reta vertical (paralela ao eixo y) que passa por ele.
  • Interseção com o plano x=0 (plano yz): colocar x=0
-2z-12=0 \quad\Rightarrow\quad z=-6.
Logo a interseção com o plano x=0 é a reta \{(0,y,-6)\mid y\in\mathbb{R}\}. No desenho, marca-se o ponto (0,0,-6) e a reta paralela a y passando por ele.
  • Interseção com o plano y=0 (plano xz): colocando y=0 a superfície corta esse plano na reta
3x-2z-12=0 \quad\Leftrightarrow\quad z=\frac{3}{2}x-6,
que é a reta do plano xz que passa por (0,0,-6) e por (4,0,0).
Observação: a superfície não passa pelo eixo y (ponto (0,0,0) não satisfaz a equação).

Passo 5

Vetores diretores e vetor normal (para compreensão).
  • O vetor normal ao plano pode ser lido dos coeficientes de x,y,z na forma 3x+0\cdot y-2z-12=0. Assim o normal é
\mathbf{n}=(3,0,-2).
Significado: \mathbf{n} é perpendicular ao plano.
  • Dois vetores do plano (vetores diretores) podem ser escolhidos como:
\mathbf{v}_1=(0,1,0)\quad\text{(direção paralela ao eixo \(y\))},çã
\mathbf{v}_2=(2,0,3)\quad\text{(vetor no plano \(y=0\); verificação: }\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}_2=3\cdot2+0\cdot0-2\cdot3=0).çã
Esses dois vetores são linearmente independentes e geram o plano.

Passo 6

Forma paramétrica (útil para plotar pontos da superfície).
Tomando o ponto base (0,0,-6) (obtido ao fazer x=0), a superfície pode ser escrita em forma paramétrica com parâmetros s,t\in\mathbb{R}:
(x,y,z) = (0,0,-6) + s(2,0,3) + t(0,1,0).
Isto dá todas as combinações lineares que formam o plano. Outra forma equivalente, usando x e y como parâmetros, é:
\text{para }(x,y)\in\mathbb{R}^2:\qquad z=\frac{3}{2}x-6.

Passo 7

Como esboçar passo a passo no papel (manual, sem software).
  1. Desenhe um sistema de eixos x, y, z (com x para a direita, y saindo para cima/para fora do papel e z vertical, ou qualquer convenção que você prefira).
  2. No plano z=0 marque o ponto (4,0,0).
  3. No plano y=0 marque o ponto (0,0,-6).
  4. Desenhe a reta no plano y=0 que passa por (0,0,-6) e (4,0,0) (essa é a interseção com o plano y=0).
  5. A partir dessa reta, desenhe linhas paralelas ao eixo y (ou imagine estender a reta ao longo do eixo y) — isso gera o plano completo. Para dar noção de superfície, desenhe outra reta paralela a y passando por algum ponto intermediário da reta inicial (por exemplo passando por (2,0,-3)).
  6. Identifique o vetor normal (3,0,-2) desenhando uma seta perpendicular ao plano para indicar inclinação.
Dica prática: para visualizar a inclinação no plano xz lembre que quando x aumenta de 0 para 4, z aumenta de -6 para 0 (sobe 6 unidades quando x sobe 4 unidades), pois a inclinação no plano xz é 3/2.

Passo 8

Resumo verbal intuitivo (para gravar na prova):
  • A superfície 3x-2z-12=0 é um plano oblíquo paralelo ao eixo y.
  • Na seção y= constante aparece sempre a mesma reta z=\tfrac{3}{2}x-6.
  • Interceptos úteis: passa por (4,0,0) e por (0,0,-6).
  • Forma paramétrica: (x,y,z)=(0,0,-6)+s(2,0,3)+t(0,1,0).

Resposta

Plano dado por z=\dfrac{3}{2}x-6; interceptos (4,0,0) e (0,0,-6); plano paralelo ao eixo y; forma paramétrica (x,y,z)=(0,0,-6)+s(2,0,3)+t(0,1,0), s,t\in\mathbb{R}.

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