Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície dada pela equação
.
Informações fornecidas explicitamente:
Informações fornecidas explicitamente:
- A equação da superfície é
.
Pergunta: desenhar/esboçar essa superfície e entender suas características geométricas (como é, onde fica, interseções relevantes, como desenhar passo a passo).
Passo 2
Interpretando a equação de forma direta:
significa que a coordenada vertical
é sempre igual a
, independentemente dos valores de
e
. Em outras palavras, para todo par
possível, o ponto
pertence à superfície. Isso já diz muita coisa sobre a forma da superfície: não há variação em
, então é uma superfície “plana” e horizontal.
Passo 3
Escritas úteis da superfície (para entender e usar na prova):
- Forma explícita:
. - Forma implícita:
. - Forma paramétrica (mostra que para cada
em se obtém um ponto na superfície):
Cada uma dessas representações significa a mesma superfície; a paramétrica é útil para pensar que a superfície é uma cópia do plano
“tocando” a altura
.
Passo 4
Descrição geométrica clara e curta (o que realmente importa para o esboço):
- A superfície é um plano paralelo ao plano
. - Está localizado na altura
, isto é, é o conjunto de todos os pontos que têm coordenada vertical igual a . - É um plano horizontal infinito (estende-se sem limite nas direções
e ).
Passo 5
Interseções e traços (úteis para desenhar e para responder perguntas de prova):
- Interseção com o eixo
: o plano corta o eixo em (porque em , temos ). - Interseção com o plano
(plano ): é a reta dada por , ou seja todos os pontos . No diagrama aparece como uma linha horizontal à altura . - Interseção com o plano
(plano ): é a reta , ou seja todos os pontos . - Interseção com o plano
(plano ): não há pontos comuns, pois nunca vale na superfície . - Traços horizontais (contornos de nível): cortar com outro plano
dá vazio se e dá todo o plano quando . Para mapas de contorno, o nível corresponde a todo o plano projetado.
Passo 6
Propriedades métricas e vetor normal (coisas que caem em prova):
- Um vetor normal ao plano é
porque o plano não muda quando ou variam; só a componente é fixa. - Distância do plano até a origem: para uma equação do tipo
a distância da origem é . Aqui a equação é , que corresponde a . Assim a distância da origem até o plano é
Isso confirma geometricamente que o plano está a 4 unidades “acima” da origem.
Passo 7
Passo a passo prático para desenhar o esboço à mão (sem régua 3D complicada):
- Desenhe um sistema de eixos 3D estilizado: um eixo
apontando para a direita-para-frente, um eixo apontando para a esquerda-para-frente (ou para a esquerda), e o eixo vertical para cima. Marque a origem . - Marque no eixo
a altura . Faça uma pequena escala (por exemplo, cada unidade = 1 cm) e marque o ponto sobre o eixo . - A partir desse nível desenhe um paralelogramo (ou retângulo em perspectiva) paralelo ao plano
. Esse paralelogramo representa uma porção do plano horizontal; faça-o grande para sugerir que o plano é infinito. - Trace linhas paralelas aos eixos
e dentro do paralelogramo para dar sensação de plano. Sombreie levemente ou use linha pontilhada nas partes “de trás” para dar profundidade. - Opcional: marque e rotule a reta de interseção com o plano
(será uma linha horizontal no paralelogramo) e o ponto .
Dica: pense que está desenhando a “tampa” plana de uma caixa a 4 unidades acima da origem.
Passo 8
Exemplos comparativos rápidos para consolidar a ideia:
-
é exatamente o mesmo tipo de superfície, só que mais próxima da origem (distância ). -
é o próprio plano .
Ver esses exemplos ajuda a entender queconstante são sempre planos horizontais paralelos entre si.
Passo 9
Resumo prático para a prova (o que escrever/mostrar rapidamente):
- Diga: “Superfície é o plano horizontal
paralelo ao plano , passa por e tem vetor normal .” - Se pedirem desenho, siga o passo a passo do Passo 7 e marque
e as retas de traço com e .
Resposta
A superfície é o plano horizontal paralelo ao plano
situado na altura
. Interseção com o eixo
em
; vetor normal
; forma paramétrica
,
.