Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
z=4

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície dada pela equação \,z=4\,.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A equação da superfície é \,z=4\,.
    Pergunta: desenhar/esboçar essa superfície e entender suas características geométricas (como é, onde fica, interseções relevantes, como desenhar passo a passo).

Passo 2

Interpretando a equação de forma direta: \,z=4\, significa que a coordenada vertical z é sempre igual a 4, independentemente dos valores de x e y. Em outras palavras, para todo par (x,y) possível, o ponto (x,y,4) pertence à superfície. Isso já diz muita coisa sobre a forma da superfície: não há variação em z, então é uma superfície “plana” e horizontal.

Passo 3

Escritas úteis da superfície (para entender e usar na prova):
  • Forma explícita: \,z=4\,.
  • Forma implícita: \,z-4=0\,.
  • Forma paramétrica (mostra que para cada (u,v) em \mathbb{R}^2 se obtém um ponto na superfície):
(x,y,z)=(u,v,4),\qquad u,v\in\mathbb{R}.
Cada uma dessas representações significa a mesma superfície; a paramétrica é útil para pensar que a superfície é uma cópia do plano \mathbb{R}^2 “tocando” a altura z=4.

Passo 4

Descrição geométrica clara e curta (o que realmente importa para o esboço):
  • A superfície é um plano paralelo ao plano xy.
  • Está localizado na altura z=4, isto é, é o conjunto de todos os pontos que têm coordenada vertical igual a 4.
  • É um plano horizontal infinito (estende-se sem limite nas direções x e y).

Passo 5

Interseções e traços (úteis para desenhar e para responder perguntas de prova):
  • Interseção com o eixo z: o plano corta o eixo z em \,(0,0,4)\, (porque em x=0, y=0 temos z=4).
  • Interseção com o plano y=0 (plano xz): é a reta dada por \,z=4,\;y=0\,, ou seja todos os pontos \,(x,0,4)\,. No diagrama xz aparece como uma linha horizontal à altura 4.
  • Interseção com o plano x=0 (plano yz): é a reta \,z=4,\;x=0\,, ou seja todos os pontos \,(0,y,4)\,.
  • Interseção com o plano z=0 (plano xy): não há pontos comuns, pois \,z nunca vale 0 na superfície \,z=4\,.
  • Traços horizontais (contornos de nível): cortar com outro plano \,z=c\, dá vazio se c\neq4 e dá todo o plano (x,y) quando c=4. Para mapas de contorno, o nível z=4 corresponde a todo o plano (x,y) projetado.

Passo 6

Propriedades métricas e vetor normal (coisas que caem em prova):
  • Um vetor normal ao plano é \,\mathbf{n}=(0,0,1)\, porque o plano não muda quando x ou y variam; só a componente z é fixa.
  • Distância do plano até a origem: para uma equação do tipo \,ax+by+cz+d=0\, a distância da origem é \dfrac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. Aqui a equação é \,z-4=0\,, que corresponde a a=0,b=0,c=1,d=-4. Assim a distância da origem até o plano é
\frac{|{-4}|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{1}=4.
Isso confirma geometricamente que o plano está a 4 unidades “acima” da origem.

Passo 7

Passo a passo prático para desenhar o esboço à mão (sem régua 3D complicada):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D estilizado: um eixo x apontando para a direita-para-frente, um eixo y apontando para a esquerda-para-frente (ou para a esquerda), e o eixo z vertical para cima. Marque a origem O.
  2. Marque no eixo z a altura \,z=4\,. Faça uma pequena escala (por exemplo, cada unidade = 1 cm) e marque o ponto \,(0,0,4)\, sobre o eixo z.
  3. A partir desse nível desenhe um paralelogramo (ou retângulo em perspectiva) paralelo ao plano xy. Esse paralelogramo representa uma porção do plano horizontal; faça-o grande para sugerir que o plano é infinito.
  4. Trace linhas paralelas aos eixos x e y dentro do paralelogramo para dar sensação de plano. Sombreie levemente ou use linha pontilhada nas partes “de trás” para dar profundidade.
  5. Opcional: marque e rotule a reta de interseção com o plano y=0 (será uma linha horizontal no paralelogramo) e o ponto \,(0,0,4)\,.
Dica: pense que está desenhando a “tampa” plana de uma caixa a 4 unidades acima da origem.

Passo 8

Exemplos comparativos rápidos para consolidar a ideia:
  • \,z=2\, é exatamente o mesmo tipo de superfície, só que mais próxima da origem (distância 2).
  • \,z=0\, é o próprio plano xy.
    Ver esses exemplos ajuda a entender que \,z= constante são sempre planos horizontais paralelos entre si.

Passo 9

Resumo prático para a prova (o que escrever/mostrar rapidamente):
  • Diga: “Superfície é o plano horizontal \,z=4\, paralelo ao plano xy, passa por (0,0,4) e tem vetor normal (0,0,1).”
  • Se pedirem desenho, siga o passo a passo do Passo 7 e marque (0,0,4) e as retas de traço com x e y.

Resposta

A superfície é o plano horizontal paralelo ao plano xy situado na altura \,z=4. Interseção com o eixo z em (0,0,4); vetor normal (0,0,1); forma paramétrica (x,y,z)=(u,v,4), u,v\in\mathbb{R}.

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