(2,0) Resolva as expressões aplicando corretamente o conceito de radiciação:
\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{-64}-3^{3}

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a expressão aplicando corretamente o conceito de radiciação. A expressão dada é
\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{-64}-3^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os radicais são \sqrt[4]{16} e \sqrt[3]{-64}.
  • Há uma potência 3^{3}.
  • O objetivo é calcular o valor numérico dessa combinação.

Passo 2

Vamos lembrar os conceitos essenciais sobre radiciação (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • A raiz n\)-ésima de um número \(a\) é um número \(x\) tal que \(x^{n}=a\). Escrevemos isso como \(\sqrt[n]{a}=x\). - Quando \(n\) é par (por exemplo \(2,4,6,\dots\)), a raiz \(n\)-ésima de um número real é definida no conjunto dos reais somente se \(a\ge 0\). Nesse caso a convenção é tomar a raiz principal, que é não negativa. Por exemplo, \(\sqrt[4]{16}\) significa o número não negativo cujo quarta potência é \(16\). - Quando \(n\) é ímpar (por exemplo \(1,3,5,\dots\)), a raiz \(n\)-ésima existe para qualquer \(a\in\mathbb{R}\) e é única no conjunto dos reais. Em particular, \(\sqrt[3]{-64}\) é um número real e pode ser negativo. - Uma relação útil: para \(a\in\mathbb{R}\), \[\sqrt[n]{a^{n}} = \begin{cases} |a|, & \text{se \(n é par},\[4pt] a, & se n é ímpar. \end{cases}]Isso só vale diretamente quando se reconhece a forma a^{n}.
Exemplos rápidos e concretos para fixar:
  • \sqrt{9}=\sqrt[2]{9}=3 (raiz quadrada principal, não negativa).
  • \sqrt[3]{-8}=-2 (raiz cúbica de número negativo, resultado negativo).
  • \sqrt[4]{2^{4}}=|2|=2.
Calma: seguir essa regra ajuda a evitar confusões com sinais.]

Passo 3

Calcular \sqrt[4]{16}.
  • Observação: 16=2^{4}. Isso eu posso escrever explicitamente como \,16=2^{4}\,.
  • Aplicando a relação da raiz n-ésima com potências: como o índice 4 é par, \sqrt[4]{2^{4}}=|2|=2.
  • Portanto \sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^{4}}=2.

Passo 4

Calcular \sqrt[3]{-64}.
  • Observação: -64=(-4)^{3}, pois (-4)^{3}=-4\cdot-4\cdot-4=-64.
  • Como o índice 3 é ímpar, aplica-se \sqrt[3]{(-4)^{3}}=-4 (não há valor absoluto aqui porque n é ímpar).
  • Portanto \sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{(-4)^{3}}=-4.

Passo 5

Calcular 3^{3}.
  • Potência simples: 3^{3}=3\cdot3\cdot3=9\cdot3=27.
  • Assim, 3^{3}=27.

Passo 6

Agora substituímos os resultados na expressão original e fazemos a conta final, passo a passo:
  • A expressão vira \sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{-64}-3^{3}=2+(-4)-27.
  • Primeiro somamos os dois primeiros termos: 2+(-4)=2-4=-2.
  • Depois subtraímos 27: -2-27=-29.

Resposta

-29

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