Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função F(x)=(x^6+1)^5(3x+2)^3. O conteúdo principal é a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto: se F(x)=u(x)v(x), então F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui definimos u(x)=(x^6+1)^5 e v(x)=(3x+2)^3.

Passo 3

Para calcular u'(x), usamos a regra da cadeia em u(x)=(x^6+1)^5. Temos u'(x)=5(x^6+1)^4cdotddx(x^6+1)=5(x^6+1)^4cdot6x^5=30x^5(x^6+1)^4.

Passo 4

Para calcular v'(x), aplicamos a regra da cadeia em v(x)=(3x+2)^3. Assim v'(x)=3(3x+2)^2cdotddx(3x+2)=3(3x+2)^2cdot3=9(3x+2)^2.

Passo 5

Substituindo em F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) e fatorando (x^6+1)^4(3x+2)^2, obtemos
F'(x)=(x^6+1)^4(3x+2)^2l[30x^5(3x+2)+9(x^6+1)r]
Simplificando o colchete temos [30x^5cdot3x+30x^5cdot2+9x^6+9]=99x^6+60x^5+9, que ainda pode extrair 3, chegando a 3(33x^6+20x^5+3).

Resposta

F'(x)=3(x^6+1)^4(3x+2)^2(33x^6+20x^5+3)

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