Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem m dos pólos e os correspondentes resíduos B.
exp (z)z^2+pi^2

Passo 1

Resumo: Temos a função f(z)=e^zz^2+pi^2. O conteúdo aqui é análise complexa: vamos identificar as singularidades isoladas, mostrar que elas são polos, determinar a ordem m de cada um e calcular os resíduos correspondentes usando séries de Laurent ou a fórmula para polo simples.

Passo 2

Para encontrar as singularidades, basta achar os zeros do denominador. Resolvendo
z^2 + pi^2 = 0 implies z = pm ipi

Passo 3

Como o denominador é z^2+pi^2, sua derivada é 2z. Avaliando em cada zero:
(2z)|z=pm ipi = pm 2ipi neq 0,

Passo 4

logo cada zero é simples. Isso significa que em z=pm ipi a função tem polos de ordem m=1.

Passo 5

Para polos simples, usamos a fórmula do resíduo em z0:
Res(f,z0)=limzto z0(z-z0)f(z)=e^z0(d/dz)(z^2+pi^2)l|z=z0=e^z02z0

Passo 6

Agora calculamos em cada polo:
  • Em z0=ipi:
B(ipi)=e^ipi2ipi=-12ipi = i2pi
  • Em z0=-ipi:
B(-ipi)=e^-ipi-2ipi=-1-2ipi=12ipi= -i2pi

Resposta

Nos pontos z=±iπ temos polos simples (m=1). Os resíduos são B(iπ)=i/(2π) e B(-iπ)=-i/(2π).

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