Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função holomorfa
.
Passo 1
Resumindo, a gente tem a função
. O objetivo é ver que ela é harmônica (ou seja, satisfaz
) e depois achar a conjugada harmônica
usando as equações de Cauchy–Riemann, para montar
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem para checar a harmonicidade. Temos
,
.
Em seguida,
,
.
Somando, aparece
,
então é mesmo harmônica.
Em seguida,
Somando, aparece
então
Passo 3
Agora usamos as equações de Cauchy–Riemann:
e
.
Da primeira, . Integramos em relação a
:
Da primeira,
Passo 4
Para achar
, calculamos
.
Pela segunda equação de Cauchy–Riemann, . Logo
e, integrando,
Pela segunda equação de Cauchy–Riemann,
$$h(x)=x^4+C.
$$
Podemos tomar sem perda.
Podemos tomar
Passo 5
Reunindo tudo, a conjugada harmônica é
Portanto a função holomorfa (no plano complexo com unidade imaginária
$$f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=4xy3-4x3y+x ;+
;j\bigl(x4+y4-6x2y2+y\bigr).
$$
Resposta
v(x,y)=x4+y4-6x2y2+y
f(z)=4xy3-4x3y+x+j\bigl(x4+y4-6x2y2+y\bigr)