Verifique que as funções a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada correspondente. Escreva a função holomorfa .

Passo 1

Resumindo, a gente tem a função u(x,y)=4xy^3-4x^3y+x. O objetivo é ver que ela é harmônica (ou seja, satisfaz uxx+uyy=0) e depois achar a conjugada harmônica v(x,y) usando as equações de Cauchy–Riemann, para montar f(z)=u+jv.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem para checar a harmonicidade. Temos
ux=4y^3-12x^2y+1, uy=12xy^2-4x^3.
Em seguida,
uxx=-24xy, uyy=24xy.
Somando, aparece
uxx+uyy=0,
então u é mesmo harmônica.

Passo 3

Agora usamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux=vy e uy=-vx.
Da primeira, vy=4y^3-12x^2y+1. Integramos em relação a y:
v(x,y)=integral(4y^3-12x^2y+1),dy=y^4-6x^2y^2+y+h(x)

Passo 4

Para achar h(x), calculamos
vx=partialx[y^4-6x^2y^2+y+h(x)]=-12xy^2+h'(x).
Pela segunda equação de Cauchy–Riemann, vx=-uy=-(12xy^2-4x^3)=-12xy^2+4x^3. Logo
h'(x)=4x^3 e, integrando,
$$h(x)=x^4+C.
$$
Podemos tomar h(x)=x^4+C sem perda.

Passo 5

Reunindo tudo, a conjugada harmônica é
v(x,y)=y^4-6x^2y^2+y+x^4
Portanto a função holomorfa (no plano complexo com unidade imaginária j) é
$$f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=4xy3-4x3y+x ;+
;j\bigl(x4+y4-6x2y2+y\bigr).
$$

Resposta

v(x,y)=x4+y4-6x2y2+y
f(z)=4xy3-4x3y+x+j\bigl(x4+y4-6x2y2+y\bigr)

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