Esboce o LGR para os sistemas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o Lugar das Raízes (LGR) do sistema com função de laço aberto
Informações dadas (pego do enunciado):
- O ganho proporcional é
(parâmetro real, normalmente consideramos ). - A função
tem pólos e zeros que vamos identificar para construir o LGR.
Pergunta clara: desenhar (esboçar) o LGR em função de
(i.e., como se movem as raízes do polinômio característico quando
varia).
Passo 2
Localizar pólos e zeros de
(etapa básica e essencial).
- Zeros: resolver
. Logo os zeros são . - Pólos: resolver denominador
. Logo há um pólo duplo em (dois pólos coincidentes em zero).
Conclusão deste passo:
- Número de pólos
(contando multiplicidade). - Número de zeros
. - Como
, cada ramo do LGR parte de um pólo e termina em um zero (não há ramos que vão para o infinito), portanto NÃO haverá assimptotas para o infinito.
Passo 3
Relembrando: o LGR mostra onde ficam as raízes da equação característica do sistema em malha fechada quando
varia. A equação característica é
Vamos escrever essa equação e manipular para encontrar explicitamente as raízes em função de
.
Começando da definição:
Multiplicando ambos os lados por
(isso é válido porque tratamos de localização dos polos fechados, e depois analisamos soluções):
Agrupando termos em
:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada:
Explicação do que isso significa:
- Aqui
é a posição dos polos em malha fechada (variável complexa). - A expressão mostra que
é puramente imaginário para , porque o lado direito é negativo real e a raiz dá vezes algo real não-negativo. - Definindo
(a parte imaginária positiva), obtemos .
Passo 4
Interpretar a expressão encontrada para descrever o LGR e sua variação com
.
Da expressão
temos as seguintes propriedades (explicadas passo a passo):
- Quando
: , logo . Isso corresponde aos pólos iniciais (pólo duplo em zero). - Quando
: , logo . Isso corresponde aos zeros em — os ramos terminam exatamente nos zeros quando . - Para todo
a quantidade varia monotonicamente de a . Portanto as raízes em malha fechada percorrem o eixo imaginário puro, de até , à medida que cresce de a .
Outra forma útil de escrever a relação (inversão para ver o parâmetro em termos de
):
- Se escrevermos
com , da equação característica obtemos
Dessa expressão se vê que para
é necessário
, isto é
(portanto
). Isso confirma que os polos fechados ficam no segmento do eixo imaginário com
, ligando
a
.
Passo 5
Verificação de outras regras do LGR e comportamento dinâmico (para você aplicar na prova e justificar o esboço):
- Simetria: o LGR é simétrico em relação ao eixo real (aqui é simétrico em torno da origem pois os polos fechados são
). - Segmentos no eixo real: não há segmentos no eixo real do LGR porque todos os pólos/zeros estão no eixo imaginário.
- Pontos de quebra (breakaway/break-in): não há, pois cada ramo vai direto do pólo em
até um zero finito em , sem necessidade de ir para o infinito nem se dividir em ramos adicionais. - Estabilidade: para
todos os polos fechados estão sobre o eixo imaginário (não têm parte real negativa), então o sistema é marginalmente estável (os modos são puramente oscilatórios); não há deslocamento para parte esquerda do plano para nenhum .
Passo 6
Como esboçar na prática (instruções rápidas para a prova, passo a passo):
- Marque dois pólos em
(um pólo duplo). - Marque dois zeros em
e . - Desenhe dois ramos do LGR saindo de
ao longo do eixo imaginário: um ramo vai para cima até , o outro vai para baixo até . - Indique a direção com setas: para
crescendo de a , os pontos começam em e vão em direção a . - Se quiser pontos numéricos como referência, calcule por exemplo:
-
dá . -
dá . -
dá .
-
Resposta
LGR: dois ramos ao longo do eixo imaginário, saindo do pólo duplo em
e terminando nos zeros em
. As posições dos polos em malha fechada são
ou seja, os polos percorrem o segmento imaginário entre
e
quando
cresce de
a
.