Esboce o mapa de contorno das seguintes funções:
z=9 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da superfície z = 9x² + y², tema de funções de duas variáveis e curvas de nível, e vamos precisar usar a definição de nível z = c e reescrever como equação de elipse.

Passo 2

Para cada nível c fixo, igualamos 9x² + y² a c. Assim as curvas de nível satisfazem
9x^2 + y^2 = c
Reescrevendo em forma padrão de elipse, dividimos tudo por c:
x^2c/9 + y^2c = 1
Dessa forma vemos que, para cada c>0, a curva é uma elipse com semi-eixo em x dado por a = raizc/9 = raizc3 e semi-eixo em y dado por b = raizc.

Passo 3

Escolhendo alguns valores típicos de c (por exemplo, c = 1, 4, 9, 16) temos as elipses:
  • Para c=1: x^2/(1/9) + y^2/1 =1, semi-eixos a=1/3, b=1.
  • Para c=4: x^2/(4/9) + y^2/4 =1, semi-eixos a=2/3, b=2.
  • Para c=9: x^2/1 + y^2/9 =1, semi-eixos a=1, b=3.
  • Para c=16: x^2/(16/9) + y^2/16 =1, semi-eixos a=4/3, b=4.

Passo 4

O esboço do mapa de contorno é então um conjunto de elipses concêntricas, centradas na origem, com a cada nível c aumentando o tamanho dos semi-eixos. As elipses são mais alongadas no eixo y, pois b=raizc cresce mais rápido que a=raizc/3.

Resposta

As curvas de nível são as elipses
9x^2 + y^2 = c, c>0,
com semi-eixos a=raizc/3 ao longo de x e b=raizc ao longo de y. No mapa, desenham-se elipses concêntricas para valores típicos de c, como 1, 4, 9, 16, cada vez maiores e alongadas no eixo y.

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