Esboce o mapa de contorno das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da superfície z = 9x² + y², tema de funções de duas variáveis e curvas de nível, e vamos precisar usar a definição de nível z = c e reescrever como equação de elipse.
Passo 2
Para cada nível c fixo, igualamos 9x² + y² a c. Assim as curvas de nível satisfazem
Reescrevendo em forma padrão de elipse, dividimos tudo por c:
Dessa forma vemos que, para cada c>0, a curva é uma elipse com semi-eixo em x dado por
e semi-eixo em y dado por
.
Passo 3
Escolhendo alguns valores típicos de c (por exemplo, c = 1, 4, 9, 16) temos as elipses:
- Para c=1:
, semi-eixos , . - Para c=4:
, semi-eixos , . - Para c=9:
, semi-eixos , . - Para c=16:
, semi-eixos , .
Passo 4
O esboço do mapa de contorno é então um conjunto de elipses concêntricas, centradas na origem, com a cada nível c aumentando o tamanho dos semi-eixos. As elipses são mais alongadas no eixo y, pois
cresce mais rápido que
.
Resposta
As curvas de nível são as elipses
com semi-eixos
ao longo de x e
ao longo de y. No mapa, desenham-se elipses concêntricas para valores típicos de c, como 1, 4, 9, 16, cada vez maiores e alongadas no eixo y.