Uma função
de
e
é harmônica se satisfazem à equação de Laplace
.
Prove que as funções a seguir são harmônicas:
(31.1)
.
Prove que as funções a seguir são harmônicas:
(31.1)
Passo 1
Temos a função
. Uma função é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace
. Para provar que
é harmônica, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em
e
.
Passo 2
Derivando
em relação a
, usamos que a derivada de
é
e
é constante:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = -e^{-x}\cos(y), \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{-x}\cos(y).
\frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-x}\sin(y), \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -e^{-x}\cos(y).$$
Passo 3
Somando as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma das derivadas de segunda ordem é zero, concluímos que
satisfaz
.
Resposta
A função
é harmônica.