Uma função f de x e y é harmônica se satisfazem à equação de Laplace partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.
Prove que as funções a seguir são harmônicas:
(31.1) f(x, y)=e^-x cos (y).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^-xcos(y). Uma função é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2=0. Para provar que f é harmônica, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x e y.

Passo 2

Derivando f em relação a x, usamos que a derivada de e^-x é -e^-x e cos(y) é constante:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = -e^{-x}\cos(y), \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{-x}\cos(y). partial fpartial x = -e^-xcos(y), partial^2 fpartial x^2 = e^-xcos(y)çãéé\frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-x}\sin(y), \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -e^{-x}\cos(y).$$

Passo 3

Somando as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = e^-xcos(y) + l(-e^-xcos(y)r) = 0
Como a soma das derivadas de segunda ordem é zero, concluímos que f(x,y) satisfaz partial^2 fpartial x^2+partial^2fpartial y^2=0.

Resposta

A função f(x,y)=e^-xcos(y) é harmônica.

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