- Esboce
: domínio, imagem e comportamento assintótico.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a função
determinando domínio, imagem e comportamento assintótico. Vamos usar propriedades da função exponencial e limites para identificar tudo isso.
Passo 2
Domínio
A função está definida para todo
. Logo
A função
Passo 3
Imagem
Como
Como
temos
e portanto
Logo
Passo 4
Comportamento assintótico
Para vale
Para
então
o que mostra que
é assíntota horizontal.
Para temos
Para
e, consequentemente,
; não há outra assíntota.
Passo 5
Esboço do gráfico
A derivada
A derivada
mostra que
é estritamente decrescente. Ela intercepta o eixo
em
e tende a
quando
, crescendo sem limite quando
. O esboço é uma curva exponencial decrescente acima da reta
, passando por
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota horizontal:
Gráfico: exponencial decrescente interceptando e aproximando-se de
à direita.
Imagem:
Assíntota horizontal:
Gráfico: exponencial decrescente interceptando