1. Esboce \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\wedge}(-\mathrm{x})+2 : domínio, imagem e comportamento assintótico.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a função
f(x)=e^{-x}+2
determinando domínio, imagem e comportamento assintótico. Vamos usar propriedades da função exponencial e limites para identificar tudo isso.

Passo 2

Domínio
A função e^{-x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\mathrm{dom}\,f = \mathbb{R}.

Passo 3

Imagem
Como
e^{-x}>0\quad\forall x,
temos e^{-x}\in(0,\infty) e portanto
f(x)=e^{-x}+2\in(2,\infty).
Logo
\mathrm{im}\,f = (2,\infty).

Passo 4

Comportamento assintótico
Para x\to+\infty vale
\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0,
então
\lim_{x\to+\infty}f(x)=2,
o que mostra que y=2 é assíntota horizontal.
Para x\to-\infty temos
\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty
e, consequentemente, f(x)\to+\infty; não há outra assíntota.

Passo 5

Esboço do gráfico
A derivada
f'(x)=-e^{-x}<0
mostra que f é estritamente decrescente. Ela intercepta o eixo y em
f(0)=e^0+2=3
e tende a y=2 quando x\to+\infty, crescendo sem limite quando x\to-\infty. O esboço é uma curva exponencial decrescente acima da reta y=2, passando por (0,3).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (2,\infty)
Assíntota horizontal: y=2
Gráfico: exponencial decrescente interceptando (0,3) e aproximando-se de y=2 à direita.

Exercícios relacionados