1. Resolva \log _{2}\left(x^{2}-5 x+6\right)=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de logaritmo
\log_{2}\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)=3.
Isso envolve dois pontos principais: (i) determinar o domínio onde o logaritmando é positivo, e (ii) usar a forma exponencial do logaritmo para obter uma equação polinomial.

Passo 2

Para que \log_{2}\bigl(x^{2}-5x+6\bigr) esteja bem definido, é necessário ter
x^{2}-5x+6>0.
Note que
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Uma inequação produto (x-2)(x-3)>0 tem solução
x<2\quad\text{ou}\quad x>3.

Passo 3

Agora convertemos o logaritmo para a forma exponencial. A igualdade
\log_{2}\bigl(x^{2}-5x+6\bigr)=3
é equivalente a
x^{2}-5x+6 = 2^{3}.
Como 2^{3}=8, obtemos a equação polinomial
x^{2}-5x+6 = 8 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x-2 = 0.

Passo 4

Para resolver
x^{2}-5x-2=0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=25+8=33.
Logo as raízes são
x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}.

Passo 5

Resta verificar quais dessas raízes satisfazem o domínio x<2 ou x>3: \displaystyle x_{1}=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\approx5{,}37, que é maior que 3, está no domínio. \displaystyle x_{2}=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\approx -0{,}37, que é menor que 2, também está no domínio.

Resposta

As soluções da equação são
x=\frac{5+\sqrt{33}}{2} \quad\text{e}\quad x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}.

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