Determine a série complexa de Fourier de
no intervalo indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede a série de Fourier complexa de
nesse intervalo (assumindo a extensão periódica de período
).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Função:
para . - Intervalo:
(logo o semiperíodo é e o período da extensão periódica será ). - Resultado pedido: escrever
como série complexa
com
apropriada e determinar os coeficientes
.
Passo 2
Fórmula padrão da série complexa em
: se
então a base angular fundamental é
. Os coeficientes complexos são dados por
Substituindo
e
obtemos a fórmula que usaremos:
Essa é a definição; agora vamos calcular essa integral explícita.
Passo 3
Observação sobre simetria (isso simplifica muuuito): a função
é par (isto é,
). Portanto, ao separar a parte real e imaginária da integral,
Como
é par e
é ímpar, a segunda integral (a imaginária) é zero. Assim
Usando paridade da integranda real, isso vale duas vezes a integral de
a
:
Portanto os coeficientes ficam
Passo 4
Agora precisamos calcular
com
. Vou fazer isso por integração por partes duas vezes (método padrão quando aparece
vezes cosseno/seno). Primeiro, seja
Fazendo integração por partes com
e
(então
e
) obtemos
Chame a segunda integral de
Agora calcule
por partes com
,
(então
,
):
Volte essa expressão para a que tinha
:
Organizando:
Passe o termo em
para a esquerda:
Calcule as quantidades nas bordas:
Substituindo:
Portanto
Passo 5
Volte à nossa notação com
. Como
para todo inteiro
, o termo com seno desaparece. Assim, para
,
Usando
obtemos a forma final simples dos coeficientes:
Observação rápida: para
essa fórmula dá
, que coincide com
. Além disso os
são reais e satisfazem
, de modo que a série complexa é equivalente à série por cossenos
mas o enunciado pediu explicitamente a forma complexa, então vamos escrevê‑la.