Determine a série complexa de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=e^{-|x|},-1<x<1

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=e^{-|x|}\, definida no intervalo -1<x<1 e pede a série de Fourier complexa de f nesse intervalo (assumindo a extensão periódica de período 2).
Informações relevantes que temos:
  • Função: \,f(x)=e^{-|x|}\, para -1<x<1.
  • Intervalo: -1<x<1 (logo o semiperíodo é L=1 e o período da extensão periódica será 2).
  • Resultado pedido: escrever f(x) como série complexa
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 x}
com \omega_0 apropriada e determinar os coeficientes c_n.

Passo 2

Fórmula padrão da série complexa em [-L,L]: se L=1 então a base angular fundamental é \omega_0=\dfrac{\pi}{L}=\pi. Os coeficientes complexos são dados por
c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)e^{-i n \omega_0 x}\,dx.
Substituindo L=1 e \omega_0=\pi obtemos a fórmula que usaremos:
c_n=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{-|x|} e^{-i n \pi x}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Essa é a definição; agora vamos calcular essa integral explícita.

Passo 3

Observação sobre simetria (isso simplifica muuuito): a função \,e^{-|x|}\, é par (isto é, e^{-|x|}=e^{-|-x|}). Portanto, ao separar a parte real e imaginária da integral,
\int_{-1}^{1} e^{-|x|} e^{-i n \pi x}\,dx =\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\cos(n\pi x)\,dx -i\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\sin(n\pi x)\,dx.
Como e^{-|x|} é par e \sin(n\pi x) é ímpar, a segunda integral (a imaginária) é zero. Assim
\int_{-1}^{1} e^{-|x|} e^{-i n \pi x}\,dx = \int_{-1}^{1} e^{-|x|}\cos(n\pi x)\,dx.
Usando paridade da integranda real, isso vale duas vezes a integral de 0 a 1:
\int_{-1}^{1} e^{-|x|}\cos(n\pi x)\,dx = 2\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(n\pi x)\,dx.
Portanto os coeficientes ficam
c_n=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(n\pi x)\,dx =\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(n\pi x)\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular
I(a)=\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(a x)\,dx
com a=n\pi. Vou fazer isso por integração por partes duas vezes (método padrão quando aparece e^{-x} vezes cosseno/seno). Primeiro, seja
I(a)=\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(ax)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=\cos(ax) e dv=e^{-x}dx (então du=-a\sin(ax)dx e v=-e^{-x}) obtemos
I(a) = \big[-e^{-x}\cos(ax)\big]_0^1 - a\int_{0}^{1} e^{-x}\sin(ax)\,dx.
Chame a segunda integral de
J(a)=\int_{0}^{1} e^{-x}\sin(ax)\,dx.
Agora calcule J(a) por partes com u=\sin(ax), dv=e^{-x}dx (então du=a\cos(ax)dx, v=-e^{-x}):
J(a)=\big[-e^{-x}\sin(ax)\big]_0^1 + a\int_{0}^{1} e^{-x}\cos(ax)\,dx = \big[-e^{-x}\sin(ax)\big]_0^1 + a I(a).
Volte essa expressão para a que tinha I(a):
I(a)=\big[-e^{-x}\cos(ax)\big]_0^1 - a\Big(\big[-e^{-x}\sin(ax)\big]_0^1 + a I(a)\Big).
Organizando:
I(a)=\big[-e^{-x}\cos(ax)\big]_0^1 - a\big[-e^{-x}\sin(ax)\big]_0^1 - a^2 I(a).
Passe o termo em a^2 I(a) para a esquerda:
(1+a^2)I(a)=\big[-e^{-x}\cos(ax)\big]_0^1 - a\big[-e^{-x}\sin(ax)\big]_0^1.
Calcule as quantidades nas bordas:
\big[-e^{-x}\cos(ax)\big]_0^1 = -e^{-1}\cos(a) - (-1)\cos(0) = 1 - e^{-1}\cos(a),
\big[-e^{-x}\sin(ax)\big]_0^1 = -e^{-1}\sin(a) - 0 = -e^{-1}\sin(a).
Substituindo:
(1+a^2)I(a) = 1 - e^{-1}\cos(a) - a\big(-e^{-1}\sin(a)\big) = 1 - e^{-1}\cos(a) + a e^{-1}\sin(a).
Portanto
I(a)=\frac{1 - e^{-1}\cos(a) + a e^{-1}\sin(a)}{1+a^2}.

Passo 5

Volte à nossa notação com a=n\pi. Como \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, o termo com seno desaparece. Assim, para n\in\mathbb{Z},
c_n=I(n\pi)=\frac{1 - e^{-1}\cos(n\pi)}{1+n^2\pi^2}.
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n obtemos a forma final simples dos coeficientes:
\boxed{\,c_n=\frac{1 - e^{-1}(-1)^n}{1+n^2\pi^2},\qquad n\in\mathbb{Z}\,.}
Observação rápida: para n=0 essa fórmula dá c_0=1-e^{-1}, que coincide com \dfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{-|x|}dx. Além disso os c_n são reais e satisfazem c_{-n}=c_n, de modo que a série complexa é equivalente à série por cossenos
f(x)=c_0 + 2\sum_{n=1}^{\infty} c_n \cos(n\pi x),
mas o enunciado pediu explicitamente a forma complexa, então vamos escrevê‑la.

Resposta

f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \pi x},\qquad c_n=\frac{1 - e^{-1}(-1)^n}{1+n^2\pi^2}\quad(n\in\mathbb{Z}).

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