Esboce as parábolas
e
. Existe uma reta que seja tangente a ambas? Se sim, encontre sua equação. Caso não, justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas no plano: a parábola
e a reta
. Queremos ver se existe uma reta genérica
que seja simultaneamente tangente às duas curvas. Para isso, vamos usar o critério de tangência à parábola—que exige que a interseção com
gere equação de segundo grau com discriminante zero—e o critério de tangência entre retas—que exige igualar inclinações e coincidir no ponto de contato.
Passo 2
Para a parábola, igualamos
e obtemos a equação
O discriminante é
Impondo
para termos raiz dupla, vem
Passo 3
Agora, para que
seja tangente à reta
, as duas retas devem ter a mesma inclinação e coincidir no ponto de tangência. Igualando as inclinações, obtemos
e, para coincidirem, precisamos de
Portanto, a única reta que tangencia
é
(isto é,
,
).
Passo 4
Mas a reta
não satisfaz a condição de tangência à parábola, pois desta última precisaríamos de
e não de
. Há, portanto, contradição.
Resposta
Não existe reta que seja tangente simultaneamente a
e a
.