Esboce as parábolas y=x^2 e y=x. Existe uma reta que seja tangente a ambas? Se sim, encontre sua equação. Caso não, justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas no plano: a parábola y=x^2 e a reta y=x. Queremos ver se existe uma reta genérica
y=mx+b
que seja simultaneamente tangente às duas curvas. Para isso, vamos usar o critério de tangência à parábola—que exige que a interseção com y=mx+b gere equação de segundo grau com discriminante zero—e o critério de tangência entre retas—que exige igualar inclinações e coincidir no ponto de contato.

Passo 2

Para a parábola, igualamos
x^2 = m x + b
e obtemos a equação
x^2 - m x - b = 0
O discriminante é
De<a = m^2 + 4b
Impondo De<a=0 para termos raiz dupla, vem
b = -m^24

Passo 3

Agora, para que y=mx+b seja tangente à reta y=x, as duas retas devem ter a mesma inclinação e coincidir no ponto de tangência. Igualando as inclinações, obtemos
m = 1,
e, para coincidirem, precisamos de
b = 0
Portanto, a única reta que tangencia y=x é y=x (isto é, m=1, b=0).

Passo 4

Mas a reta y=x não satisfaz a condição de tangência à parábola, pois desta última precisaríamos de
b = -m^24 = -14,
e não de b=0. Há, portanto, contradição.

Resposta

Não existe reta que seja tangente simultaneamente a y=x^2 e a y=x.

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