(Técnicas de construção de gráficos) Dada a função f(x)=x^3-x
a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
b) determine os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) indique o ponto de inflexão e o comportamento da concavidade;
d) faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3 - x
e pede:
a) extremos relativos via teste da derivada primeira;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) ponto de inflexão e comportamento de concavidade;
d) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar a derivada primeira f'(x) para achar e classificar extremos e monotonia, e a derivada segunda f''(x) para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e seus pontos críticos:
f'(x)=3x^2-1, 3x^2-1=0implies x=pm 1raiz3
Avaliamo­-nos o sinal de f' em cada intervalo:
  • Para x<-tfrac1raiz3, 3x^2>1 então f'(x)>0.
  • Para -tfrac1raiz3<x<tfrac1raiz3, 3x^2<1 então f'(x)<0.
  • Para x>tfrac1raiz3, 3x^2>1 então f'(x)>0.
    Logo em x=-tfrac1raiz3 a derivada muda de positiva para negativa (máximo relativo) e em x=+tfrac1raiz3 muda de negativa para positiva (mínimo relativo).
    Os valores de f nesses pontos são
f!l(pmtfrac1raiz3r) =l(pmtfrac1raiz3r)^3 -l(pmtfrac1raiz3r) =mptfrac23raiz3 =mptfrac2raiz39

Passo 3

Agora a derivada segunda para concavidade e inflexão:
f''(x)=6x, f''(x)=0implies x=0
Para x<0, f''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>0, f''(x)>0 (concavidade para cima). Portanto há ponto de inflexão em x=0, cujo valor é f(0)=0.

Passo 4

Reunindo as informações e esboçando mentalmente o gráfico:
  • Para xto-infty, f(x)to-infty.
  • Cresce até l(-tfrac1raiz3,tfrac2raiz39r) (máximo).
  • Decresce até l(tfrac1raiz3,-tfrac2raiz39r) (mínimo).
  • Cresce depois em toda parte.
  • Tem inflexão em (0,0), curva muda de “sorriso” para “cenho”.
O esboço é uma cúbica ímpar que cruza a origem, sobe até o máximo em xapprox-0.577, cai até o mínimo em xapprox0.577 e depois sobe indefinidamente.

Resposta

a) Máximo relativo em
l(-tfrac1raiz3,tfrac2raiz39r),
mínimo relativo em
l(tfrac1raiz3,-tfrac2raiz39r).
b) f é crescente em
l(-infty,-tfrac1raiz3r)cupl(tfrac1raiz3,inftyr)
e decrescente em
l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).
c) Ponto de inflexão em (0,0); concava para baixo em x<0 e para cima em x>0.
d) Esboço: curva cúbica ímpar que sobe de -infty, atinge máximo em approx(-0.577,0.385), desce até mínimo em approx(0.577,-0.385), tem inflexão na origem e sobe para +infty.

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