(Técnicas de construção de gráficos) Dada a função
a) ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira;
b) determine os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) indique o ponto de inflexão e o comportamento da concavidade;
d) faça um esboço do gráfico de
.
a) ache os extremos relativos de
b) determine os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) indique o ponto de inflexão e o comportamento da concavidade;
d) faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) extremos relativos via teste da derivada primeira;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) ponto de inflexão e comportamento de concavidade;
d) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar a derivada primeira para achar e classificar extremos e monotonia, e a derivada segunda
para concavidade e inflexão.
a) extremos relativos via teste da derivada primeira;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) ponto de inflexão e comportamento de concavidade;
d) esboço do gráfico.
Para isso vamos usar a derivada primeira
Passo 2
Calculemos a derivada primeira e seus pontos críticos:
Avaliamo-nos o sinal de
em cada intervalo:
- Para
, então . - Para
, então . - Para
, então .
Logo ema derivada muda de positiva para negativa (máximo relativo) e em muda de negativa para positiva (mínimo relativo).
Os valores denesses pontos são
Passo 3
Agora a derivada segunda para concavidade e inflexão:
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima). Portanto há ponto de inflexão em
, cujo valor é
.
Passo 4
Reunindo as informações e esboçando mentalmente o gráfico:
- Para
, . - Cresce até
(máximo). - Decresce até
(mínimo). - Cresce depois em toda parte.
- Tem inflexão em
, curva muda de “sorriso” para “cenho”.
O esboço é uma cúbica ímpar que cruza a origem, sobe até o máximo em
, cai até o mínimo em
e depois sobe indefinidamente.
Resposta
a) Máximo relativo em
,
mínimo relativo em
.
mínimo relativo em
b)
é crescente em
e decrescente em
.
e decrescente em
c) Ponto de inflexão em
; concava para baixo em
e para cima em
.
d) Esboço: curva cúbica ímpar que sobe de
, atinge máximo em
, desce até mínimo em
, tem inflexão na origem e sobe para
.