Esboce o subconjunto do
no plano cartesiano:
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pede um esboço no plano cartesiano.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão
é a condição que define . - Não há outras restrições além dessa desigualdade.
O que se pede: desenhar (esboçar) o conjunto de todos os pontosque satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Entender a forma geométrica: a fórmula
descreve um círculo de centro
e raio
. A desigualdade
descreve o disco fechado (círculo mais o interior), ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto
é menor ou igual a
.
Aplicando aqui:
é equivalente a dizer que a distância de
ao ponto
é menor ou igual a
. Em símbolos:
.
Passo 3
Identificar o centro e o raio explicitamente:
- Centro:
. - Raio:
.
Explicação didática curta: a expressão
é simplesmente a soma dos quadrados das diferenças em
e
em relação ao centro
; tirar raiz disso dá a distância euclidiana. A condição
pede que essa distância seja
.
Passo 4
Pontos-chave para marcar no esboço (são os pontos cardeais do círculo):
- Ponto superior (centro mais raio em
): . - Ponto inferior (centro menos raio em
): . - Ponto à direita (centro mais raio em
): . - Ponto à esquerda (centro menos raio em
): .
Cálculo rápido dos pontos sobre os eixos (útil para posicionar):
- Interseção com o eixo
( ): resolver dá , logo . Ou seja, o círculo é tangente ao eixo em . - Interseção com o eixo
( ): resolver dá , então (aprox. ), isto é, pontos aproximadamente e .
Passo 5
Instrução prática para esboçar (passo a passo, como você faria na prova):
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala conveniente (por exemplo, um quadrado por unidade). - Marque o centro
: vá 1 unidade à direita do origem e 2 unidades para cima. - A partir do centro, marque os quatro pontos cardeais listados em \
Passo 6
- Desenhe uma curva suave passando por esses quatro pontos formando um círculo. Como estamos fazendo um esboço, não precisa ser geométricamente perfeito, mas deve passar por esses pontos e parecer redondo.
- Preencha (sombreie) toda a região interna ao círculo e inclua a fronteira (porque a desigualdade é
, ou seja, o disco é fechado). No traço, certifique-se de que a borda do círculo está contínua (não pontilhada) para indicar que os pontos da fronteira pertencem ao conjunto.
Dica: se quiser um método paramétrico para desenhar com mais precisão (ou no computador), usar
para a fronteira, e pontos com raio menor que
para o interior.
Passo 7
Interpretações úteis para a prova (resumão que vale decorar):
-
é a circunferência de centro e raio . -
é o disco aberto (interior). -
— o nosso caso — é o disco fechado (interior + fronteira). Na prova, dizer "disco fechado de centro e raio " já resolve o enunciado se pedirem descrição; para esboçar, siga o procedimento do passo anterior.
Resposta
O conjunto
é o disco fechado de centro
e raio
; ou seja, todos os pontos a uma distância menor ou igual a
de
.