Esboce o subconjunto do \mathbb{R}^{2} no plano cartesiano:
I=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-1)^{2}+(y-2)^{2} \leq 4\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
I=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x-1)^2+(y-2)^2 \le 4\right\}
e pede um esboço no plano cartesiano.
Informações fornecidas:
  • A expressão (x-1)^2+(y-2)^2 \le 4 é a condição que define I.
  • Não há outras restrições além dessa desigualdade.
    O que se pede: desenhar (esboçar) o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Entender a forma geométrica: a fórmula (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 descreve um círculo de centro (a,b) e raio r. A desigualdade (x-a)^2+(y-b)^2 \le r^2 descreve o disco fechado (círculo mais o interior), ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto (a,b) é menor ou igual a r.
Aplicando aqui:
(x-1)^2+(y-2)^2 \le 4
é equivalente a dizer que a distância de (x,y) ao ponto (1,2) é menor ou igual a \sqrt{4}=2. Em símbolos: \operatorname{dist}\big((x,y),(1,2)\big)\le 2.

Passo 3

Identificar o centro e o raio explicitamente:
  • Centro: (1,2).
  • Raio: 2.
Explicação didática curta: a expressão (x-1)^2+(y-2)^2 é simplesmente a soma dos quadrados das diferenças em x e y em relação ao centro (1,2); tirar raiz disso dá a distância euclidiana. A condição \le 4 pede que essa distância seja \le 2.

Passo 4

Pontos-chave para marcar no esboço (são os pontos cardeais do círculo):
  • Ponto superior (centro mais raio em y): (1,4).
  • Ponto inferior (centro menos raio em y): (1,0).
  • Ponto à direita (centro mais raio em x): (3,2).
  • Ponto à esquerda (centro menos raio em x): (-1,2).
Cálculo rápido dos pontos sobre os eixos (útil para posicionar):
  • Interseção com o eixo x ( y=0): resolver (x-1)^2+(0-2)^2\le4 (x-1)^2\le0, logo x=1. Ou seja, o círculo é tangente ao eixo x em (1,0).
  • Interseção com o eixo y ( x=0): resolver (0-1)^2+(y-2)^2\le4 (y-2)^2\le3, então y=2\pm\sqrt{3} (aprox. 2\pm1{,}732), isto é, pontos aproximadamente (0,3{,}732) e (0,0{,}268).

Passo 5

Instrução prática para esboçar (passo a passo, como você faria na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala conveniente (por exemplo, um quadrado por unidade).
  2. Marque o centro (1,2): vá 1 unidade à direita do origem e 2 unidades para cima.
  3. A partir do centro, marque os quatro pontos cardeais listados em \

Passo 6

  1. Desenhe uma curva suave passando por esses quatro pontos formando um círculo. Como estamos fazendo um esboço, não precisa ser geométricamente perfeito, mas deve passar por esses pontos e parecer redondo.
  2. Preencha (sombreie) toda a região interna ao círculo e inclua a fronteira (porque a desigualdade é \le, ou seja, o disco é fechado). No traço, certifique-se de que a borda do círculo está contínua (não pontilhada) para indicar que os pontos da fronteira pertencem ao conjunto.
Dica: se quiser um método paramétrico para desenhar com mais precisão (ou no computador), usar
x=1+2\cos t,\qquad y=2+2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
para a fronteira, e pontos com raio menor que 2 para o interior.

Passo 7

Interpretações úteis para a prova (resumão que vale decorar):
  • \{(x,y)\mid (x-1)^2+(y-2)^2 = 4\} é a circunferência de centro (1,2) e raio 2.
  • \{(x,y)\mid (x-1)^2+(y-2)^2 < 4\} é o disco aberto (interior).
  • \{(x,y)\mid (x-1)^2+(y-2)^2 \le 4\} — o nosso caso — é o disco fechado (interior + fronteira). Na prova, dizer "disco fechado de centro (1,2) e raio 2" já resolve o enunciado se pedirem descrição; para esboçar, siga o procedimento do passo anterior.

Resposta

O conjunto I é o disco fechado de centro (1,2) e raio 2; ou seja, todos os pontos a uma distância menor ou igual a 2 de (1,2).

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