Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfaçam a cada uma das expressões abaixo.
Passo 1
O exercício pede para desenhar no plano complexo o conjunto de pontos s tais que |s|>0 e 0 ≤ arg(s) ≤ π/4. Isso envolve geometria de números complexos em coordenadas polares.
Passo 2
Lembrando que qualquer número complexo s pode ser escrito em forma polar como
onde r = |s| ≥ 0 e θ = arg(s) é o ângulo que o segmento do eixo real positivo até s faz com esse eixo.
Passo 3
A condição |s|>0 implica que r>0, ou seja, estamos excluindo apenas o ponto origem do plano.
A condição 0 ≤ arg(s) ≤ π/4 impõe que 0 ≤ θ ≤ π/4, ou seja, s deve ficar num setor que vai do eixo real positivo (θ=0) até a reta que forma 45° com o eixo real positivo (θ=π/4).
A condição 0 ≤ arg(s) ≤ π/4 impõe que 0 ≤ θ ≤ π/4, ou seja, s deve ficar num setor que vai do eixo real positivo (θ=0) até a reta que forma 45° com o eixo real positivo (θ=π/4).
Passo 4
Como as desigualdades em θ são ≤, esses dois raios (· eixo real positivo e · reta a 45°) fazem parte da fronteira do conjunto. Mas como r>0, o ponto origem não está incluso.
Passo 5
Para esboçar: desenhe dois raios a partir da origem — um horizontal para a direita e outro a 45° acima da horizontal — e sombreie a região entre eles, excluindo somente o ponto origem.
Em notação, o conjunto é:
Em notação, o conjunto é:
$$
{,r e^{iθ}:r>0,;0\le θ\le π/4}\n$$
Resposta
O conjunto é o setor polar
$$
{r e^{iθ}:r>0,;0\le θ\le π/4}\n$$
no plano complexo: um setor de ângulo 45° a partir do eixo real positivo (incluindo os dois raios) sem o ponto origem.
no plano complexo: um setor de ângulo 45° a partir do eixo real positivo (incluindo os dois raios) sem o ponto origem.