Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
y=ln |x|, y=0, y=1

Passo 1

A questão pede a área da região limitada pelas curvas y=ln|x|, y=0 e y=1. O conteúdo principal é o conceito de integral dupla para calcular área de uma região do plano, e vamos precisar do método de descrição da região em coordenadas cartesianas para montar a integral.

Passo 2

Para esboçar, note que y=ln|x| é formado por duas ramificações simétricas nos eixos, que para y=0 cortam o eixo x em x=±1 e para y=1 cortam em x=±e. As retas horizontais y=0 e y=1 fecham, junto com as duas ramificações de y=ln|x|, uma região simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Para descrever essa região em termos de desigualdades, veja que y varia de 0 até 1. Para cada valor fixo de y nesse intervalo, o valor de x fica entre as duas ramificações de ln|x|, ou seja:
0 <= y <= 1, -e^y <= x <= e^y

Passo 4

Com isso, a área pedida é dada pela integral dupla
A = integral duplaR dA = integraly=0^1 l(integralx=-e^y^e^y dxr) dy

Passo 5

Calculando a integral interna primeiro, temos integral-e^y^e^ydx = 2e^y. Logo a área fica
A = integral0^1 2e^y , dy = 2 l[e^yr]0^1 = 2(e - 1)

Resposta

2(e - 1)

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