Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
Passo 1
A questão pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
. O conteúdo principal é o conceito de integral dupla para calcular área de uma região do plano, e vamos precisar do método de descrição da região em coordenadas cartesianas para montar a integral.
Passo 2
Para esboçar, note que
é formado por duas ramificações simétricas nos eixos, que para
cortam o eixo
em
e para
cortam em
. As retas horizontais
e
fecham, junto com as duas ramificações de
, uma região simétrica em relação ao eixo
.
Passo 3
Para descrever essa região em termos de desigualdades, veja que
varia de 0 até 1. Para cada valor fixo de
nesse intervalo, o valor de
fica entre as duas ramificações de
, ou seja:
Passo 4
Com isso, a área pedida é dada pela integral dupla
Passo 5
Calculando a integral interna primeiro, temos
. Logo a área fica
Resposta
2(e - 1)