Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto de pontos
tais que
e decidir se esse conjunto é um domínio (isto é, aberto e conexo).
Passo 2
A condição
significa que, escrevendo
, temos a restrição
. Geometricamente, isso é o meio‐plano acima da reta horizontal
, sem incluir a própria reta.
Passo 3
Para esboçar, trace no plano complexo o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical), desenhe a reta pontilhada horizontal em
e sombreie toda a região acima dela, indicando que a reta não faz parte do conjunto.
Passo 4
Para mostrar que o conjunto é aberto, pegue um ponto arbitrário
com
. Defina
. A bola aberta
fica inteiramente dentro de
, pois qualquer ponto nessa bola tem parte imaginária maior que
.
Passo 5
Para mostrar que o conjunto é conexo, note que ele é convexo: dados quaisquer
com
, toda combinação afim
tem
. Conjuntos convexos são sempre conectados.
Resposta
O conjunto é o meio‐plano aberto
, que é aberto e conexo. Portanto, é um domínio.