Um subconjunto S do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos s in C que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Im(s)>1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto de pontos sinC tais que Im(s)>1 e decidir se esse conjunto é um domínio (isto é, aberto e conexo).

Passo 2

A condição Im(s)>1 significa que, escrevendo s=x+iy, temos a restrição y>1. Geometricamente, isso é o meio‐plano acima da reta horizontal y=1, sem incluir a própria reta.

Passo 3

Para esboçar, trace no plano complexo o eixo real (horizontal) e o eixo imaginário (vertical), desenhe a reta pontilhada horizontal em y=1 e sombreie toda a região acima dela, indicando que a reta não faz parte do conjunto.

Passo 4

Para mostrar que o conjunto é aberto, pegue um ponto arbitrário s0 com Im(s0)>1. Defina r=Im(s0)-1>0. A bola aberta B(s0,r)=s:|s-s0| fica inteiramente dentro de Im(s)>1, pois qualquer ponto nessa bola tem parte imaginária maior que Im(s0)-r=1.

Passo 5

Para mostrar que o conjunto é conexo, note que ele é convexo: dados quaisquer s1,s2 com Im(si)>1, toda combinação afim st=(1-t)s1+t s2 tem Im(st)=(1-t)Im(s1)+tIm(s2)>1. Conjuntos convexos são sempre conectados.

Resposta

O conjunto é o meio‐plano aberto sinC:Im(s)>1, que é aberto e conexo. Portanto, é um domínio.

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