Obtenha as soluções das seguintes EDOs:
doty-(tg(t)) y=cos t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem dot y - tan(t),y = cos t. O conteúdo é EDOs lineares de 1ª ordem e vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos na forma padrão y' + p(t)y = q(t). Aqui identificamos
p(t) = -tan(t), q(t) = cos t
O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -tan(t),dt = e^ln(cos t) = cos t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=cos t, obtendo
cos t,y' - cos t,tan t,y = cos^2 t
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada de cos t,y, pois
(cos t,y)' = -sin t,y + cos t,y'

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral (cos t,y)',dt = integral cos^2 t,dt
Logo,
cos t,y = integral cos^2 t,dt + C = t2 + sin(2t)4 + C

Passo 5

Para terminar, isolamos y dividindo por cos t:
y(t) = 1cos tl(t2 + sin(2t)4 + Cr) = t2cos t + sin t2 + Csec t

Resposta

y(t)=\dfrac{t}{2\cos t}+\dfrac{\sin t}{2}+C\sec t

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