Seja
, em que
, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule
, identificando as partes real
e imaginária
. Considere
e
constantes reais.
Passo 1
A questão pede para calcular a resposta em frequência de ,(G(s)=e^{-sL}/(s(Ts+1))) e obter ,(G(j\omega)=X+jY), ou seja, identificar a parte real X e imaginária Y em função de ,(\omega,T,L,\zeta) (ainda que ,(\zeta) não apareça explicitamente aqui).
Passo 2
Substituindo ,(s=j\omega) temos a expressão inicial da resposta em frequência:
Passo 3
Repare que o denominador é um número complexo ,(j\omega(1+jT\omega)). Vamos agrupá-lo:
Passo 4
Para separar parte real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador ,(-T\omega^2-j\omega):
Passo 5
Observe que o denominador real agora é
Passo 6
Expandindo o numerador usando ,(e^{-j\omega L}=\cos(\omega L)-j\sin(\omega L)) e agrupando em parte real e imaginária, chegamos a:
Passo 7
Dividindo essas partes pelo denominador
, obtemos
Resposta
X(\omega)=\frac{-T\omega^2\cos(\omega L)-\omega\sin(\omega L)}{\omega2\bigl(T2\omega^2+1\bigr)},\quad Y(\omega)=\frac{T\omega^2\sin(\omega L)-\omega\cos(\omega L)}{\omega2\bigl(T2\omega^2+1\bigr)}