Seja G(s), em que s=sigma+j omega, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule G(j omega)=X+j Y, identificando as partes real X e imaginária Y. Considere T, L, omegan e zeta constantes reais.
G(s)=e^-s Ls(T s+1)

Passo 1

A questão pede para calcular a resposta em frequência de ,(G(s)=e^{-sL}/(s(Ts+1))) e obter ,(G(j\omega)=X+jY), ou seja, identificar a parte real X e imaginária Y em função de ,(\omega,T,L,\zeta) (ainda que ,(\zeta) não apareça explicitamente aqui).

Passo 2

Substituindo ,(s=j\omega) temos a expressão inicial da resposta em frequência:
G(jomega)=e^-jomega Ljomegal(1+jTomegar)

Passo 3

Repare que o denominador é um número complexo ,(j\omega(1+jT\omega)). Vamos agrupá-lo:
jomegal(1+jTomegar)=jomega+j^2Tomega^2=-Tomega^2+jomega

Passo 4

Para separar parte real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador ,(-T\omega^2-j\omega):
G(jomega)=e^-jomega L-Tomega^2+jomegacdot-Tomega^2-jomega-Tomega^2-jomega =e^-jomega Ll(-Tomega^2-jomegar)(-Tomega^2)^2+(omega)^2

Passo 5

Observe que o denominador real agora é
(-Tomega^2)^2+(omega)^2=T^2omega^4+omega^2=omega^2l(T^2omega^2+1r)

Passo 6

Expandindo o numerador usando ,(e^{-j\omega L}=\cos(\omega L)-j\sin(\omega L)) e agrupando em parte real e imaginária, chegamos a:
num=(-Tomega^2-jomega)(cosomega L-jsinomega L) =-Tomega^2cosomega L-omegasinomega L +jl(Tomega^2sinomega L-omegacosomega Lr)

Passo 7

Dividindo essas partes pelo denominador omega^2(T^2omega^2+1), obtemos

Resposta

X(\omega)=\frac{-T\omega^2\cos(\omega L)-\omega\sin(\omega L)}{\omega2\bigl(T2\omega^2+1\bigr)},\quad Y(\omega)=\frac{T\omega^2\sin(\omega L)-\omega\cos(\omega L)}{\omega2\bigl(T2\omega^2+1\bigr)}

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