Esboce no plano complexo o conjunto de pontos z que satisfazem cada uma das condições abaixo.
|z-j|=|z+j|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano complexo o lugar geométrico dos pontos z que satisfazem |z–j|=|z+j|. O conteúdo envolve a interpretação de módulo de número complexo como distância no plano e a noção de locus de pontos equidistantes.

Passo 2

Pelo entendimento geométrico, o conjunto de pontos equidistantes de j e –j é a mediatriz do segmento que une esses pontos. Como j está em (0,1) e –j em (0,–1), a mediatriz é a reta horizontal que passa pela origem, isto é, o eixo real.

Passo 3

Para ver isso algebricamente, seja z=x+iy. Então
|z-j|^2=|x+i(y-1)|^2=x^2+(y-1)^2,
|z+j|^2=|x+i(y+1)|^2=x^2+(y+1)^2

Passo 4

Igualando as distâncias ao quadrado:
x^2+(y-1)^2=x^2+(y+1)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando:
y^2-2y+1=y^2+2y+1implies-2y=2yimplies y=0

Passo 6

Portanto o locus é a reta y=0. No esboço basta destacar o eixo real como a solução.

Resposta

Im(z)=0 (eixo real)

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