Em cada caso determine e represente graficamente o dominio da função
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de funções de duas variáveis. A questão pede para determinar e representar graficamente o domínio da função $ z = f(x, y) $, onde $ z = (|x| - |y|)^{-1/2} $. Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como as condições da função influenciam esse domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. Ou seja, precisamos achar todos os valores de
e
que fazem com que a expressão $ (|x| - |y|)^{-1/2} $ seja válida.
Passo 3
Agora, olhemos para a expressão $ (|x| - |y|)^{-1/2} $. Para que essa expressão seja real e definida, o que está dentro do parêntese, $ |x| - |y| $, deve ser positivo, porque:
- $ |x| $ e $ |y| $ são sempre não negativos.
- Não podemos ter divisão por zero ou raiz de número negativo.
Então, a condição que precisamos é:
Passo 4
Vamos resolver a inequação $ |x| - |y| > 0 $. Isso significa que:
Agora, para entender melhor, vamos pensar nos valores absolutos. A inequação $ |x| > |y| $ significa que a distância de
até zero na reta dos números reais é maior que a distância de
até zero.
Passo 5
Vamos considerar os diferentes casos para resolver $ |x| > |y| $:
-
Quando $ x \geq 0 $ e $ y \geq 0 $:
-
Quando $ x \geq 0 $ e $ y < 0 $:
Mas como $ y < 0 $, $ -y > 0 $, então $ x > -y $ é equivalente a $ x + y > 0 $. -
Quando $ x < 0 $ e $ y \geq 0 $:
Isso é equivalente a $ -x - y > 0 $. -
Quando $ x < 0 $ e $ y < 0 $:
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a desigualdade):
Passo 6
Com base nos casos acima, podemos visualizar o domínio no plano $ xy $:
- Para $ x > y $: Região acima da linha $ y = x $.
- Para $ x > -y $: Região acima da linha $ y = -x $.
- Para $ x < y $: Região abaixo da linha $ y = x $.
Essas regiões se sobrepõem de forma que o domínio total é a região do plano onde $ |x| > |y| $.
Resposta
O domínio da função $ z = (|x| - |y|)^{-1/2} $ é o conjunto de todos os pares
tais que $ |x| > |y| $. Graficamente, isso corresponde à região entre as retas $ y = x $ e $ y = -x $, excluindo essas retas.