Em cada caso determine e represente graficamente o dominio da função z=f(x, y).
z=(|x|-|y|)^-1 / 2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de funções de duas variáveis. A questão pede para determinar e representar graficamente o domínio da função $ z = f(x, y) $, onde $ z = (|x| - |y|)^{-1/2} $. Vamos precisar entender o que é domínio de uma função e como as condições da função influenciam esse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os pares (x, y)) para os quais a função está definida. Ou seja, precisamos achar todos os valores de x e y que fazem com que a expressão $ (|x| - |y|)^{-1/2} $ seja válida.

Passo 3

Agora, olhemos para a expressão $ (|x| - |y|)^{-1/2} $. Para que essa expressão seja real e definida, o que está dentro do parêntese, $ |x| - |y| $, deve ser positivo, porque:
  1. $ |x| $ e $ |y| $ são sempre não negativos.
  2. Não podemos ter divisão por zero ou raiz de número negativo.
Então, a condição que precisamos é:
(|x| - |y|)^-1/2

Passo 4

Vamos resolver a inequação $ |x| - |y| > 0 $. Isso significa que:
|x| - |y| > 0
Agora, para entender melhor, vamos pensar nos valores absolutos. A inequação $ |x| > |y| $ significa que a distância de |x| > |y| até zero na reta dos números reais é maior que a distância de |x| > |y| até zero.

Passo 5

Vamos considerar os diferentes casos para resolver $ |x| > |y| $:
  1. Quando $ x \geq 0 $ e $ y \geq 0 $:
    |x| > |y|
  2. Quando $ x \geq 0 $ e $ y < 0 $:
    x >= 0
    Mas como $ y < 0 $, $ -y > 0 $, então $ x > -y $ é equivalente a $ x + y > 0 $.
  3. Quando $ x < 0 $ e $ y \geq 0 $:
    y >= 0
    Isso é equivalente a $ -x - y > 0 $.
  4. Quando $ x < 0 $ e $ y < 0 $:
    x > y
    Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a desigualdade):
    x >= 0

Passo 6

Com base nos casos acima, podemos visualizar o domínio no plano $ xy $:
  • Para $ x > y $: Região acima da linha $ y = x $.
  • Para $ x > -y $: Região acima da linha $ y = -x $.
  • Para $ x < y $: Região abaixo da linha $ y = x $.
Essas regiões se sobrepõem de forma que o domínio total é a região do plano onde $ |x| > |y| $.

Resposta

O domínio da função $ z = (|x| - |y|)^{-1/2} $ é o conjunto de todos os pares z = (|x| - |y|)^-1/2 tais que $ |x| > |y| $. Graficamente, isso corresponde à região entre as retas $ y = x $ e $ y = -x $, excluindo essas retas.

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