Esboce a região cuja área é dada pela integral dupla e calcule-a.
\int_{\pi}^{2 \pi} \int_{4}^{7} r d r d \theta .

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R do plano dada pela integral dupla em coordenadas polares
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{4}^{7}r\,dr\,d\theta.
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de uma integral em coordenadas polares e cálculo de área usando
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

A região R em coordenadas polares é
R = \{(r,\theta)\mid 4 \le r \le 7,\;\pi \le \theta \le 2\pi\}.
Em coordenadas cartesianas, isso corresponde a um semianel situado na parte inferior do plano (porque \theta vai de 180^\circ a 360^\circ), entre o círculo de raio 4 e o de raio 7. Ou seja, é a “fatia” de anel abaixo do eixo x.

Passo 3

Para calcular a área, avaliamos a integral iterada:
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{4}^{7}r\,dr\,d\theta = \int_{\pi}^{2\pi}\Bigl[\frac{r^{2}}{2}\Bigr]_{4}^{7}\,d\theta = \int_{\pi}^{2\pi}\frac{7^{2}-4^{2}}{2}\,d\theta = \int_{\pi}^{2\pi}\frac{49-16}{2}\,d\theta = \int_{\pi}^{2\pi}\frac{33}{2}\,d\theta.
Como o intervalo de \theta tem comprimento \,2\pi-\pi=\pi, segue que
\int_{\pi}^{2\pi}\frac{33}{2}\,d\theta = \frac{33}{2}\times\pi = \frac{33\pi}{2}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{33\pi}{2}.

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