Esboce a região cuja área é dada pela integral dupla e calcule-a.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{4 \cos \theta} r d r d \theta

Passo 1

Resumindo: queremos achar a área da região R dada em coordenadas polares por
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le r \le 4\cos\theta.
O conteúdo envolve curvas polares, conversão para coordenadas cartesianas para esboçar a região, e cálculo de área usando integral dupla em polares.

Passo 2

Para desenhar, convertemos o contorno r=4\cos\theta para cartesianas. Como
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
temos
r = 4\frac{x}{r}\quad\Longrightarrow\quad r^2 = 4x\quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 4x,
isto é, a circunferência
(x-2)^2 + y^2 = 4
de centro (2,0) e raio 2.

Passo 3

O esboço de R é a parte dessa circunferência dentro do primeiro quadrante ( x\ge0,y\ge0), unida à origem. Em polares vemos isso claramente: \theta vai de 0 a \pi/2 e, para cada \theta, r vai de 0 até o contorno 4\cos\theta.

Passo 4

Agora calculamos a área pela integral
A = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4\cos\theta} r\,dr\,d\theta.
Primeiro, integra em r:
\int_{0}^{4\cos\theta}r\,dr = \frac{(4\cos\theta)^2}{2} = 8\cos^2\theta,
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A = \int_{0}^{\pi/2}8\cos^2\theta\,d\theta.

Passo 5

Usamos que
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}.
Portanto
A = 8\cdot\frac{\pi}{4} = 2\pi.

Resposta

2\pi

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