Esboce a região entre as curvas e ache a área.
x=y^2-1, x=3;

Passo 1

Temos que esboçar a região limitada pelas curvas x=y^2-1 (parábola horizontal com concavidade para a direita) e x=3 (reta vertical) e calcular sua área. O conteúdo aqui é área entre curvas usando integrais, e vamos precisar expressar as fronteiras em função de y para usar fatias horizontais.

Passo 2

Para esboçar e entender a região, determinamos os pontos de interseção resolvendo y^2-1=3, o que dá y^2=4 e logo y=pm2. Assim, a região está entre y=-2 e y=2, à esquerda pela curva x=y^2-1 e à direita pela reta x=3.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da área para fatias horizontais:
Área=integraly=-2^2l(xdireita-xesquerdar),dy =integral-2^2[3-(y^2-1)],dy =integral-2^2(4-y^2),dy Á.

Passo 4

Calculamos a integral:
integral-2^2(4-y^2),dy =l[4y-tfracy^33r]-2^2 =l(8-tfrac83r)-l(-8+tfrac83r) =16-tfrac163 =tfrac323

Resposta

dfrac323

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