Esboce a região entre as curvas e ache a área.
y=x^2, y=3;

Passo 1

Nesse exercício vamos esboçar a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 3 e calcular sua área via integração. O conteúdo principal é área entre curvas, para o qual precisamos encontrar interseções e montar uma integral.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos y = x^2 e y = 3. Assim: x^2 = 3 implies x = pm raiz3 Portanto, a região vai de x = -raiz3 até x = raiz3, com a curva y = x^2 abaixo e a reta y = 3 acima.

Passo 3

Segundo a teoria de área entre curvas em função de x, temos:
A = integrala^b l(ytopo - yfundor),dx Aqui ytopo = 3 e yfundo = x^2, logo
A = integral-raiz3^raiz3 l(3 - x^2r),dx

Passo 4

Agora calculamos a primitiva do integrando. Sabemos que
integral 3,dx = 3x, integral x^2,dx = x^33
Logo a primitiva de 3 - x^2 é 3x - tfracx^33. Vamos avaliar entre -raiz3 e raiz3:
A = [3x - x^33]-raiz3^raiz3 = l(3raiz3 - (raiz3)^33r) - l(-3raiz3 - (-raiz3)^33r)

Passo 5

Como (raiz3)^3 = 3raiz3, o primeiro termo é 3raiz3 - tfrac3raiz33 = 2raiz3 e o segundo é -3raiz3 - (-raiz3) = -2raiz3. Assim
A = 2raiz3 - (-2raiz3) = 4raiz3

Resposta

A área da região entre as curvas é 4raiz3.

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