Esboce a região entre as curvas e ache a área.
y=e^x, y=e^2 x, x=ln 2;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y=e^{x}, y=e^{2x} e pela reta vertical x=\ln 2, e depois calcular a área dessa região. O conteúdo é aplicação de integrais definidas para área entre curvas, e vamos precisar:
– Encontrar o ponto de interseção de y=e^{x} e y=e^{2x}
– Determinar qual função fica acima da outra no intervalo de integração
– Montar e resolver a integral da diferença das funções

Passo 2

Para achar o limite esquerdo da região, igualamos as duas curvas:
e^x=e^2x
Isso implica
x=0
No ponto de interseção temos y=1. Portanto o intervalo em x que define a região vai de x=0 (interseção) até x=\ln 2.

Passo 3

Agora analisamos qual curva está acima da outra para x\in[0,\ln 2]. Para x>0 vale:
e^2x>e^x
Isso mostra que y=e^{2x} é a fronteira superior e y=e^{x} é a inferior nesse intervalo.

Passo 4

Montamos a integral da área A como a integral de (função de cima menos função de baixo) de x=0 até x=\ln 2:
A=integral0^ln 2l(e^2x-e^xr),dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integral e^2x,dx=tfrac12e^2x, integral e^x,dx=e^x
Então
$$A=\Bigl[\tfrac12e{2x}-e{x}\Bigr]_{0}^{\ln 2}
=\Bigl(\tfrac12e^{2\ln 2}-e^{\ln 2}\Bigr)-\Bigl(\tfrac12e{0}-e{0}\Bigr)
=\bigl(\tfrac12\cdot4-2\bigr)-\bigl(\tfrac12-1\bigr)
=0-(-\tfrac12)=\tfrac12.$$

Resposta

\tfrac12

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