Esboce a região entre as curvas e ache a área.
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas y=e^{x}, y=e^{2x} e pela reta vertical x=\ln 2, e depois calcular a área dessa região. O conteúdo é aplicação de integrais definidas para área entre curvas, e vamos precisar:
– Encontrar o ponto de interseção de y=e^{x} e y=e^{2x}
– Determinar qual função fica acima da outra no intervalo de integração
– Montar e resolver a integral da diferença das funções
– Encontrar o ponto de interseção de y=e^{x} e y=e^{2x}
– Determinar qual função fica acima da outra no intervalo de integração
– Montar e resolver a integral da diferença das funções
Passo 2
Para achar o limite esquerdo da região, igualamos as duas curvas:
Isso implica
No ponto de interseção temos y=1. Portanto o intervalo em x que define a região vai de x=0 (interseção) até x=\ln 2.
Passo 3
Agora analisamos qual curva está acima da outra para x\in[0,\ln 2]. Para x>0 vale:
Isso mostra que y=e^{2x} é a fronteira superior e y=e^{x} é a inferior nesse intervalo.
Passo 4
Montamos a integral da área A como a integral de (função de cima menos função de baixo) de x=0 até x=\ln 2:
Passo 5
Calculamos a integral:
Então
$$A=\Bigl[\tfrac12e{2x}-e{x}\Bigr]_{0}^{\ln 2}
=\Bigl(\tfrac12e^{2\ln 2}-e^{\ln 2}\Bigr)-\Bigl(\tfrac12e{0}-e{0}\Bigr)
=\bigl(\tfrac12\cdot4-2\bigr)-\bigl(\tfrac12-1\bigr)
=\bigl(\tfrac12\cdot4-2\bigr)-\bigl(\tfrac12-1\bigr)
=0-(-\tfrac12)=\tfrac12.$$
Resposta
\tfrac12