Esboce a região entre as curvas e ache a área.
y=x^3-4 x, y=0, x=-2 e x=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é esboçar a região delimitada pelas curvas $ y = x^{3} - 4x $, $ y = 0 $ (que é o eixo X), e as retas verticais $ x = -2 $ e $ x = 2 $. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que estamos lidando:
  1. $ y = x^{3} - 4x $: Essa é uma função cúbica que tem pontos de cruzamento com o eixo X.
  2. $ y = 0 $: É simplesmente o eixo X.
  3. $ x = -2 $ e $ x = 2 $: São linhas verticais que limitam nossa região de interesse.

Passo 3

Vamos começar encontrando os pontos onde a curva $ y = x^{3} - 4x $ cruza o eixo X. Para isso, resolvemos:
y = x^3 - 4x
Fatorando:
x^3 - 4x = 0
Isso nos dá as soluções:
x(x^2 - 4) = 0
Então, a curva cruza o eixo X nos pontos $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região. Imagine o gráfico da função $ y = x^{3} - 4x $. Ela começa no canto inferior esquerdo, sobe até $ x = -2 $ onde cruza o eixo X, desce novamente para $ x = 0 $, sobe para $ x = 2 $ e depois continua subindo. As linhas verticais $ x = -2 $ e $ x = 2 $ vão limitar essa região.

Passo 5

Para encontrar a área da região limitada, usamos a fórmula da integral definida. A área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $, de $ x = a $ a $ x = b $, é dada por:
A
Aqui, $ f(x) = x^{3} - 4x $ e $ g(x) = 0 $. Os limites de integração são $ a = -2 $ e $ b = 2 $.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
A = integral-2^2 |x^3 - 4x - 0| , dx = integral-2^2 |x^3 - 4x| , dx
Observamos que a função $ x^{3} - 4x $ é simétrica em relação à origem (é uma função ímpar), então podemos simplificar a integral:
x^3 - 4x
Vamos analisar o sinal da função no intervalo de 0 a 2:
Para $ x \in [0, 2] $:
A = 2 integral0^2 |x^3 - 4x| , dx
No intervalo [0,2], $ x $ é positivo, $ x + 2 $ é positivo, mas $ x - 2 $ é negativo para $ x < 2 $. Assim, $ x^{3} - 4x $ é negativo nesse intervalo, então:
x in [0, 2]

Passo 7

Agora, a integral fica:
A = 2 integral0^2 (4x - x^3) , dx
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos termo a termo:
integral (4x - x^3) , dx = integral 4x , dx - integral x^3 , dx = 2x^2 - 14x^4 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
A = 2 [ (2(2)^2 - 14(2)^4) - (2(0)^2 - 14(0)^4) ]
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = 0 $:
2(2)^2 - 14(2)^4 = 2 times 4 - 14 times 16 = 8 - 4 = 4
Então:
x = 0

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 8 unidades quadradas.

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