Esboce a região entre as curvas e ache a área.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é esboçar a região delimitada pelas curvas $ y = x^{3} - 4x $, $ y = 0 $ (que é o eixo X), e as retas verticais $ x = -2 $ e $ x = 2 $. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que estamos lidando:
- $ y = x^{3} - 4x $: Essa é uma função cúbica que tem pontos de cruzamento com o eixo X.
- $ y = 0 $: É simplesmente o eixo X.
- $ x = -2 $ e $ x = 2 $: São linhas verticais que limitam nossa região de interesse.
Passo 3
Vamos começar encontrando os pontos onde a curva $ y = x^{3} - 4x $ cruza o eixo X. Para isso, resolvemos:
Fatorando:
Isso nos dá as soluções:
Então, a curva cruza o eixo X nos pontos $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região. Imagine o gráfico da função $ y = x^{3} - 4x $. Ela começa no canto inferior esquerdo, sobe até $ x = -2 $ onde cruza o eixo X, desce novamente para $ x = 0 $, sobe para $ x = 2 $ e depois continua subindo. As linhas verticais $ x = -2 $ e $ x = 2 $ vão limitar essa região.
Passo 5
Para encontrar a área da região limitada, usamos a fórmula da integral definida. A área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $, de $ x = a $ a $ x = b $, é dada por:
Aqui, $ f(x) = x^{3} - 4x $ e $ g(x) = 0 $. Os limites de integração são $ a = -2 $ e $ b = 2 $.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Observamos que a função $ x^{3} - 4x $ é simétrica em relação à origem (é uma função ímpar), então podemos simplificar a integral:
Vamos analisar o sinal da função no intervalo de 0 a 2:
Para $ x \in [0, 2] $:
No intervalo [0,2], $ x $ é positivo, $ x + 2 $ é positivo, mas $ x - 2 $ é negativo para $ x < 2 $. Assim, $ x^{3} - 4x $ é negativo nesse intervalo, então:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos termo a termo:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 0 $:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é 8 unidades quadradas.