Sejam
quaisquer e
. Se
, é possível concluir que
? Justifique sua resposta apresentando uma demonstração ou utilizando um contraexemplo adequado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre congruências envolvendo quadrados: se dois números inteiros $ a $ e $ b $ satisfazem $ a^{2} \equiv b^{2} \ (mod \ n) $, isso significa que $ a $ é congruente a $ b $ módulo $ n $? Para resolver isso, vamos precisar entender o que são congruências, propriedades de quadrados e se podemos garantir que $ a \equiv b \ (mod \ n) $ a partir da igualdade dos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que $ a \equiv b \ (mod \ n) $. Isso quer dizer que quando dividimos $ a $ e $ b $ por $ n $, eles dão o mesmo resto. Em outras palavras, a diferença $ a - b $ é divisível por $ n $.
Passo 3
Agora, a questão nos dá que $ a^{2} \equiv b^{2} \ (mod \ n) $. Isso significa que a diferença $ a^{2} - b^{2} $ é divisível por $ n $, ou seja, $ n $ divide $ a^{2} - b^{2} $.
Passo 4
Vamos fatorar a expressão $ a^{2} - b^{2} $. Sabemos que $ a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b) $. Então, temos que $ n $ divide $ (a - b)(a + b) $.
Passo 5
Para concluir que $ a \equiv b \ (mod \ n) $, precisaríamos que $ n $ divide $ a - b $. No entanto, o fato de $ n $ dividir o produto $ (a - b)(a + b) $ não garante necessariamente que $ n $ divide apenas $ a - b $. Pode ser que $ n $ divida $ a + b $, ou mesmo ambos.
Passo 6
Para ilustrar isso, vamos procurar um contraexemplo. Escolha $ n = 5 $, $ a = 1 $ e $ b = 4 $. Calculando:
$ a^{2} = 1^{2} = 1 $
$ b^{2} = 4^{2} = 16 $
Agora, $ 1 \equiv 16 \ (mod \ 5) $ porque $ 16 - 1 = 15 $ é divisível por 5. Portanto, $ a^{2} \equiv b^{2} \ (mod \ 5) $.
Porém, $ a = 1 $ e $ b = 4 $ não são congruentes módulo 5, já que $ 1 \not\equiv 4 \ (mod \ 5) $.
Resposta
Não, a congruência $ a^{2} \equiv b^{2} \ (mod \ n) $ não implica necessariamente que $ a \equiv b \ (mod \ n) $, como demonstrado pelo contraexemplo com $ n = 5 $, $ a = 1 $ e $ b = 4 $.