Esboce a região entre as curvas x^2=y e x=y-2 e ache a área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região entre as curvas $ x^{2} = y $ e $ x = y - 2 $ e descobrir qual é a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 = y e x = y - 2
Substituindo $ y $ da segunda equação na primeira:
y
Rearranjando:
x^2 = x + 2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ x $. Usando a fórmula de Bhaskara:
x
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Assim:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto, as soluções são:
a = 1

Passo 4

Com os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando $ x = y - 2 $:
Para $ x = 2 $:
x
Para $ x = -1 $:
y
Então, os pontos de interseção são $ (2, 4) $ e $ (-1, 1) $.

Passo 5

Agora, vamos determinar qual das duas curvas está por cima na região que estamos analisando. Observando um ponto entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
x = -1
Assim, $ y = x + 2 $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral definida da função de cima menos a função de baixo, de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
x = -1

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral (x + 2 - x^2) dx = integral x dx + integral 2 dx - integral x^2 dx
Calculando as integrais:
12x^2 + 2x - 13x^3 g|-1^2

Passo 8

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
12(2)^2 + 2(2) - 13(2)^3 = 2 + 4 - 83 = 63 + 123 - 83 = 103

Passo 9

Subtraindo os valores:
A = 103 - (-76) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região entre as curvas $ x^{2} = y $ e $ x = y - 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.

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