Esboce a região entre as curvas
e
e ache a área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região entre as curvas $ x^{2} = y $ e $ x = y - 2 $ e descobrir qual é a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo $ y $ da segunda equação na primeira:
Rearranjando:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ x $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Assim:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Com os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando $ x = y - 2 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Então, os pontos de interseção são $ (2, 4) $ e $ (-1, 1) $.
Passo 5
Agora, vamos determinar qual das duas curvas está por cima na região que estamos analisando. Observando um ponto entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
Assim, $ y = x + 2 $ está acima de $ y = x^{2} $ nesse intervalo.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral definida da função de cima menos a função de baixo, de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Passo 8
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região entre as curvas $ x^{2} = y $ e $ x = y - 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.