Calcule o valor da integral integral0^1 3 x^2(x^3+3)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral integral0^1 3 x^2(x^3+3)^3 dx. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição para resolver integrais mais complicadas. Vamos precisar reconhecer uma parte da função que, se substituída por uma variável nova, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observando a integral, vemos que temos x^3 + 3 elevado à terceira potência e multiplicado por 3x^2. Isso sugere que podemos usar a substituição u = x^3 + 3.

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição:
u = x^3 + 3
Para encontrar du, derivamos u em relação a x:
dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx
Perceba que 3x^2 dx aparece exatamente na nossa integral, o que simplifica bastante.

Passo 4

Com a substituição, a integral original se transforma em:
integralu(0)^u(1) u^3 du
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando x = 0:
u(0) = 0^3 + 3 = 3
E quando x = 1:
u(1) = 1^3 + 3 = 4
Então, a integral fica:
integral3^4 u^3 du
Agora, vamos integrar u^3 em relação a u:
integral u^3 du = u^44 + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar nos limites de 3 a 4:
u^44 |3^4 = 4^44 - 3^44

Passo 5

Vamos calcular os valores:
4^44 = 2564 = 64
3^44 = 814 = 20,25
Subtraindo:
64 - 20,25 = 43,75
Convertendo para fração:
43,75 = 1754

Resposta

O valor da integral é dfrac1754.

Exercícios relacionados