Sejam f: U subseteq R^n R, U aberto, X0 in U e u=(a1, a2, ldots, an) um vetor unitário. Se f for diferenciável em X0, mostre que f admitira derivada direcional em X0, na direção do vetor u, e
partial fpartial u(X0)=nabla f(X0) cdot u

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é diferenciável em X₀, então existe a derivada direcional de f em X₀ na direção do vetor unitário u e que ela vale ∇f(X₀)·u. O conteúdo usado será a definição de diferenciabilidade em termos de aproximação linear e a definição de derivada direcional como limite de quociente de diferenças.

Passo 2

Como f é diferenciável em X₀, podemos escrever, para todo deslocamento h pequeno,
f(X₀ + h) = f(X₀) + dfX₀(h) + R(h),comlimhto0R(h)|h|=0,
onde o mapa linear df_{X₀} satisfaz dfX₀(h)=nabla f(X₀)cdot h.

Passo 3

Agora, para obter a derivada direcional na direção u, escolhemos h = t,u e consideramos o quociente
f(X₀ + t,u) - f(X₀)t = dfX₀(t,u) + R(t,u)t = dfX₀(u) + R(t,u)t

Passo 4

Como limtto0R(tu)/|t,u|=0 e |t,u|=|t|, segue que
limtto0R(t,u)t=0

Passo 5

Logo, o limite que define a derivada direcional existe e vale
partial fpartial u(X₀)=dfX₀(u)=nabla f(X₀)cdot u

Resposta

partial fpartial u(X0)=nabla f(X0)cdot u

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