Sejam
aberto,
e
um vetor unitário. Se
for diferenciável em
, mostre que
admitira derivada direcional em
, na direção do vetor
, e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se f é diferenciável em X₀, então existe a derivada direcional de f em X₀ na direção do vetor unitário u e que ela vale ∇f(X₀)·u. O conteúdo usado será a definição de diferenciabilidade em termos de aproximação linear e a definição de derivada direcional como limite de quociente de diferenças.
Passo 2
Como f é diferenciável em X₀, podemos escrever, para todo deslocamento h pequeno,
onde o mapa linear df_{X₀} satisfaz
.
Passo 3
Agora, para obter a derivada direcional na direção u, escolhemos
e consideramos o quociente
Passo 4
Como
e
, segue que
Passo 5
Logo, o limite que define a derivada direcional existe e vale