Calcule a área da região interior a curva r=2 a-2 cos (theta) para 0 <= theta <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área da região que está dentro da curva definida por $ r = 2a - 2\cos(\theta) $ para $ 0 \leq \theta \leq \pi $. Isso está relacionado à matéria de cálculo em coordenadas polares, onde usamos integrais para encontrar áreas. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da área em coordenadas polares e fazer algumas contas com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
A
Nesse caso, $ r = 2a - 2\cos(\theta) $, e os limites de integração são $ \theta_1 = 0 $ e $ \theta_2 = \pi $.

Passo 3

Vamos substituir $ r $ na fórmula da área:
r
Antes de integrar, é bom expandir o termo ao quadrado para facilitar os cálculos:
A = 12 integral0^pi (2a - 2cos(theta))^2 , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos essa expansão na integral:
A = 12 integral0^pi (4a^2 - 8acos(theta) + 4cos^2(theta)) , dtheta
Podemos separar a integral em partes:
A = 12 [ integral0^pi 4a^2 , dtheta - integral0^pi 8acos(theta) , dtheta + integral0^pi 4cos^2(theta) , dtheta ]

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Integral de $ 4a^2 $:
4a^2
  1. Integral de $ -8a\cos(\theta) $:
integral0^pi 4a^2 , dtheta = 4a^2 theta g|0^pi = 4a^2 (pi - 0) = 4a^2pi
  1. Integral de $ 4\cos^2(\theta) $:
Para integrar $ \cos^2(\theta) $, usamos a identidade trigonométrica:
-8acos(theta)
Então,
integral0^pi -8acos(theta) , dtheta = -8a integral0^pi cos(theta) , dtheta = -8a ( sin(theta) g|0^pi ) = -8a (0 - 0) = 0
Integrando:
4cos^2(theta)

Passo 6

Agora, juntando tudo de volta na expressão da área:
A = 12 [ 4a^2pi + 0 + 2pi ] = 12 (4a^2pi + 2pi) = 12 times 4a^2pi + 12 times 2pi = 2a^2pi + pi

Resposta

A área da região interior à curva é $ A = \pi (2a^2 + 1) $.

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