Calcule a área da região interior a curva
para
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a área da região que está dentro da curva definida por $ r = 2a - 2\cos(\theta) $ para $ 0 \leq \theta \leq \pi $. Isso está relacionado à matéria de cálculo em coordenadas polares, onde usamos integrais para encontrar áreas. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da área em coordenadas polares e fazer algumas contas com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Nesse caso, $ r = 2a - 2\cos(\theta) $, e os limites de integração são $ \theta_1 = 0 $ e $ \theta_2 = \pi $.
Passo 3
Vamos substituir $ r $ na fórmula da área:
Antes de integrar, é bom expandir o termo ao quadrado para facilitar os cálculos:
Passo 4
Agora, substituímos essa expansão na integral:
Podemos separar a integral em partes:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
- Integral de $ 4a^2 $:
- Integral de $ -8a\cos(\theta) $:
- Integral de $ 4\cos^2(\theta) $:
Para integrar $ \cos^2(\theta) $, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
Passo 6
Agora, juntando tudo de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região interior à curva é $ A = \pi (2a^2 + 1) $.