Esboce a região D dada e calcule a integral dupla sobre a região D.
integralegral duplaD e^-y^2 d A, em que D=(x, y) in R^2: 0 <= y <= 3,0 <= x <= y.

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar a região D e calcular a integral dupla integral duplaD e^-y^2,dA, onde D=(x,y):0<= y<=3,;0<= x<= y. O conteúdo aqui é integração dupla e integração iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar D. Ela é um triângulo no plano xy com vértices em (0,0), (0,3) e (3,3). Para cada valor de y entre 0 e 3, x varia de 0 até a reta x=y.

Passo 3

Com base nesse esboço, montamos a integral iterada em ordem dx,dy:
integral duplaD e^-y^2,dA = integraly=0^3!l(integralx=0^y e^-y^2,dxr),dy
Como e^-y^2 independe de x, a integral interna fica
integralx=0^y e^-y^2,dx = e^-y^2integral0^y dx = y,e^-y^2

Passo 4

Agora calculamos
integral0^3 y,e^-y^2,dy
Usamos a substituição u=y^2 (logo du=2y,dy, ou y,dy=du/2):
integral0^3 y,e^-y^2,dy = 12 integralu=0^9 e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^9 = 12l(1 - e^-9r)

Resposta

dfrac1 - e^-92

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