Esboce a região D dada e calcule a integral dupla sobre a região D.
integralegral duplaD y raizx^2-y^2 d A, em que D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 2,0 <= y <= x.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla de yraizx^2 - y^2 sobre a região D=(x,y):0<= x<=2,;0<= y<= x. O assunto aqui é integrais duplas e vamos usar integração iterada junto com uma substituição para resolver a integral interna.
A região D é um triângulo no primeiro quadrante, com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2), pois para cada x entre 0 e 2, y varia de 0 até x.

Passo 2

Escrevendo como integral iterada em ordem dy,dx, temos:
integral duplaD yraizx^2 - y^2,dA = integralx=0^2 l(integraly=0^x yraizx^2 - y^2,dyr) dx

Passo 3

Para calcular a integral interna I(x)=integral0^xyraizx^2 - y^2,dy, fazemos a substituição u = x^2 - y^2, de modo que du = -2y,dy e y,dy = -tfrac12du. Quando y=0, u=x^2; quando y=x, u=0. Então:
I(x)=integralu=x^2^0 raizu l(-tfrac12r)du = tfrac12integral0^x^2u^1/2du = tfrac12cdot 23u^3/2|0^x^2 = 13(x^2)^3/2 = x^33

Passo 4

Substituindo I(x)=tfracx^33 na integral externa, obtemos:
integral duplaDyraizx^2 - y^2,dA = integral0^2 x^33,dx = 13cdot x^44|0^2 = 112cdot16 = 43

Resposta

43

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