Esboce a região dada e calcule a integral dupla sobre a região . , em que .
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla de sobre a região . O assunto aqui é integrais duplas e vamos usar integração iterada junto com uma substituição para resolver a integral interna.
A região é um triângulo no primeiro quadrante, com vértices em , e , pois para cada entre 0 e 2, varia de 0 até .
Passo 2
Escrevendo como integral iterada em ordem , temos:
Passo 3
Para calcular a integral interna , fazemos a substituição , de modo que e . Quando , ; quando , . Então:
Passo 4
Substituindo I(x)=tfracx^33 na integral externa, obtemos: