Esboce a região delimita pelas curvas indicadas e encontre sua área.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar as regiões delimitadas pelas curvas $ y = 5x - x^{2} $ e $ y = x $ e encontrar a área dessa região. Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo, especialmente sobre interseções de curvas e integração para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se cruzam em $ x = 0 $ e $ x = 4 $, vamos determinar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo para sabermos como integrar.
Vamos escolher um valor de $ x $ entre 0 e 4, por exemplo, $ x = 2 $:
Então, para $ x = 2 $, $ y = 5x - x^{2} $ está acima de $ y = x $.
Passo 5
Com isso, a área entre as curvas de $ x = 0 $ a $ x = 4 $ é a integral da diferença entre $ 5x - x^{2} $ e $ x $:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas $ y = 5x - x^{2} $ e $ y = x $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área.