Esboce a região delimita pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=5 x-x^2, y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar as regiões delimitadas pelas curvas $ y = 5x - x^{2} $ e $ y = x $ e encontrar a área dessa região. Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo, especialmente sobre interseções de curvas e integração para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
5x - x^2 = x

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $:
x
Isso nos dá duas soluções:
5x - x^2 - x = 0 - x^2 + 4x = 0 x(-x + 4) = 0

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em $ x = 0 $ e $ x = 4 $, vamos determinar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo para sabermos como integrar.
Vamos escolher um valor de $ x $ entre 0 e 4, por exemplo, $ x = 2 $:
x = 0
Então, para $ x = 2 $, $ y = 5x - x^{2} $ está acima de $ y = x $.

Passo 5

Com isso, a área entre as curvas de $ x = 0 $ a $ x = 4 $ é a integral da diferença entre $ 5x - x^{2} $ e $ x $:
x = 0 Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
integral (4x - x^2) dx = 2x^2 - 13x^3 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ 2x^2 - 13x^3 ]0^4 = ( 2(4)^2 - 13(4)^3 ) - ( 2(0)^2 - 13(0)^3 )

Passo 7

Calculando os valores:
2(16) - 13(64) = 32 - 643 = 963 - 643 = 323

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas $ y = 5x - x^{2} $ e $ y = x $ é $ \frac{32}{3} $ unidades de área.

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