Resolva o PVI dado e descreva o comportamento da solução quando
.
Passo 1
O enunciado apresenta um PVI para o sistema linear
com
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes; vamos usar autovalores e autovetores de
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico:
Resolvendo
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos um autovetor para cada autovalor.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
que gera o sistema
Resolvendo, achamos e
.
Resolvendo, achamos
Passo 6
Substituindo, a solução particular fica:
Quando
, o termo
domina e
cresce exponencialmente na direção do autovetor
, ou seja, diverge.
Resposta
A solução do PVI é
e, quando
,
exponencialmente ao longo da direção
.