Resolva o PVI dado e descreva o comportamento da solução quando t infty.

Passo 1

O enunciado apresenta um PVI para o sistema linear X'=A X com
A=-2 & 1-5 & 4, X(0)=binom13
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes; vamos usar autovalores e autovetores de A para montar a solução.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=(-2-lambda)(4-lambda)-(-5cdot1)=lambda^2-2lambda-3
Resolvendo lambda^2-2lambda-3=0, obtemos
lambda=3, lambda=-1

Passo 3

Agora calculamos um autovetor para cada autovalor.
Para lambda=3:
A-3I=-5 & 1-5 & 1, (A-3I)v=0implies -5v1+v2=0implies v^(1)=15
Para lambda=-1:
A+I=-1 & 1-5 & 5, (A+I)w=0implies -w1+w2=0implies w=11

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
X(t)=C1e^3t15+C2e^-t11

Passo 5

Aplicando a condição inicial X(0)=binom13:
C115+C211=13
que gera o sistema
C1=1/2
C2=1/2
Resolvendo, achamos e .

Passo 6

Substituindo, a solução particular fica:
X(t)=tfrac12e^3t15+tfrac12e^-t11
Quando ttoinfty, o termo e^3t domina e X(t) cresce exponencialmente na direção do autovetor (1,5)^top, ou seja, diverge.

Resposta

A solução do PVI é
X(t)=tfrac12e^3t15+tfrac12e^-t11
e, quando ttoinfty, X(t)toinfty exponencialmente ao longo da direção (1,5)^top).

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