Calcule a integral.
integral d xx^2-a^2 d x, onde a neq 0

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de integral dxx^2 - a^2, onde a não é zero. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - a^2. Sabemos que essa expressão é uma diferença de quadrados, então podemos escrever:
x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)

Passo 3

Agora, vamos expressar 1x^2 - a^2 como uma soma de frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes A e B tais que:
1(x - a)(x + a) = Ax - a + Bx + a

Passo 4

Para achar os valores de A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x - a)(x + a):
1 = A(x + a) + B(x - a)
Agora, podemos atribuir valores estratégicos para x para facilitar. Se escolhermos x = a:
1 = A(a + a) + B(a - a) Rightarrow 1 = 2aA Rightarrow A = 12a
E se escolhermos x = -a:
1 = A(-a + a) + B(-a - a) Rightarrow 1 = -2aB Rightarrow B = -12a

Passo 5

Com os valores de A e B encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
1x^2 - a^2 = 12a(1x - a) - 12a(1x + a)
Agora, podemos integrar termo por termo:
integral dxx^2 - a^2 = 12a integral dxx - a - 12a integral dxx + a

Passo 6

As integrais de 1x - a e 1x + a são logaritmos naturais. Então, temos:
12a ln|x - a| - 12a ln|x + a| + C
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
12a ln|x - ax + a| + C

Resposta

A integral integral dxx^2 - a^2 é igual a 12a ln|x - ax + a| + C, onde C é a constante de integração.

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