Então, a gente tem que calcular a integral de , onde não é zero. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que essa expressão é uma diferença de quadrados, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos expressar como uma soma de frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:
Passo 4
Para achar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Agora, podemos atribuir valores estratégicos para para facilitar. Se escolhermos :
E se escolhermos :
Passo 5
Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Agora, podemos integrar termo por termo:
Passo 6
As integrais de e são logaritmos naturais. Então, temos:
Podemos simplificar combinando os logaritmos:
Resposta
A integral integral dxx^2 - a^2 é igual a 12a ln|x - ax + a| + C, onde C é a constante de integração.