Calcule as integrais indefinidas:
a)
\int \frac{2 x^{2}-12 x+4}{x^{3}-4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x^{2}-12x+4}{x^{3}-4x^{2}}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é integração de função racional via decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição em frações parciais:
x^{3}-4x^{2}=x^{2}(x-4),
portanto existe constante A, B e C tais que
\frac{2x^{2}-12x+4}{x^{2}(x-4)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-4}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x-4)\) temos \[2x^{2}-12x+4 = A\,x(x-4)+B\,(x-4)+C\,x^{2}.
Expandindo o lado direito:
A\,x^{2}-4A\,x + B\,x -4B + C\,x^{2} =(A+C)x^{2}+(-4A+B)x -4B.
Igualando coeficientes a 2x^{2}-12x+4 obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 2,\\\\ -4A + B = -12,\\\\ -4B = 4. \end{cases}
Da terceira equação vem B=-1\]. Substituindo na segunda: \(-4A-1=-12 A=\tfrac{11}{4}. Logo C=2-A=-\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Assim a integral fica
\int\!\biggl(\frac{11/4}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3/4}{x-4}\biggr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{11}{4}\,\frac{1}{x}\,dx =\frac{11}{4}\ln|x|, \qquad \int -\frac{1}{x^{2}}\,dx =\frac{1}{x}, \qquad \int -\frac{3}{4}\,\frac{1}{x-4}\,dx =-\frac{3}{4}\ln|x-4|.
Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\int \frac{2x^{2}-12x+4}{x^{3}-4x^{2}}\,dx =\frac{11}{4}\ln\lvert x\rvert-\frac{3}{4}\ln\lvert x-4\rvert+\frac{1}{x}+C.

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