Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^2-y z d x d z d y

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral iterada
integral0^2integral0^raiz4-y^2integral0^2-y z,dx,dz,dy
O conteúdo é integração iterada de função de várias variáveis, aplicando o Teorema de Fubini e integrando sucessivamente em x, depois z e finalmente y.

Passo 2

Como a primeira integração é em x e z é tratado como constante, temos
integral0^2-y z,dx = z(2-y)
Assim a integral passa a ser
integral0^2integral0^raiz4-y^2 z(2-y),dz,dy

Passo 3

Agora integramos em z, fatorando (2−y):
integral0^raiz4-y^2 z(2-y),dz = (2-y)integral0^raiz4-y^2 z,dz = (2-y)l[tfracz^22r]0^raiz4-y^2 = (2-y)(4-y^2)2
Logo ficamos com
integral0^2 (2-y)(4-y^2)2,dy

Passo 4

Para a última integração, expandimos o numerador:
(2-y)(4-y^2) = 8 - 4y - 2y^2 + y^3,
então
(2-y)(4-y^2)2 = 4 - 2y - y^2 + y^32
Integrando de 0 a 2 termo a termo:
integral0^24,dy = 8, integral0^2(-2y),dy = -4, integral0^2(-y^2),dy = -83, integral0^2y^32,dy = 2
Somando:
8 - 4 - 83 + 2 = 6 - 83 = 103

Resposta

tfrac103

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