Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
x+y^2=2, x+y=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
x + y^2 = 2
e
x + y = 0
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração: vamos encontrar as interseções, expressar cada curva como x=f(y), determinar o intervalo de y e integrar a diferença entre as abscissas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos o sistema
x + y^2 = 2, x + y = 0
Substituindo x=-y na primeira equação:
-y + y^2 = 2 Longrightarrow y^2 - y - 2 = 0
Essa equação fatora em (y-2)(y+1)=0, logo
y = 2 ou y = -1
Os pontos de interseção são l(-2,2r) e l(1,-1r).

Passo 3

Reescrevemos cada curva isolando x:
x = 2 - y^2 (parábola), x = -y (linha) á
Para y entre -1 e 2, verifica-se que
2 - y^2 ;>;-y
(o vértice da parábola está à direita da reta), de modo que a fronteira direita é x=2-y^2 e a esquerda é x=-y. Assim, a região é descrita por
-1 <= y <= 2, -y <= x <= 2 - y^2

Passo 4

A área A é dada por
A = integraly=-1^2l[xdireita - xesquerdar],dy = integral-1^2l[(2 - y^2) - (-y)r],dy = integral-1^2l(2 - y^2 + yr),dy

Passo 5

Calculando a integral:
integral (2 - y^2 + y),dy = 2y - y^33 + y^22
avaliada de -1 a 2:
l(2cdot2 - tfrac2^33 + tfrac2^22r) - l(2cdot(-1) - tfrac(-1)^33 + tfrac(-1)^22r) = l(4 - tfrac83 + 2r) - l(-2 + tfrac13 + tfrac12r) = 103 - l(-tfrac76r) = 103 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 92.

Exercícios relacionados