Use coordenadas cilíndricas para calcular:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral0^4-x^2-y^2(x^2+y^2) d z d y d x integral0^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^9-x^2-y^2 x z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois integrais triplos cujas regiões no plano xy são discos (um inteiro e um semicircular) e cujos z variam de 0 até uma função radial do tipo R^2-r^2. O conteúdo é troca para coordenadas cilíndricas via
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dz,dr,dtheta

Passo 2

Para
integral-2^2integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2integral0^4-x^2-y^2(x^2+y^2),dz,dy,dx
temos x^2+y^2=r^2, a projeção é o disco 0<= r<=2, thetain[0,2pi] e 0<= z<=4-r^2. Assim o integrando vira r^2cdot r = r^3 e
integral0^2pi!!integral0^2!!integral0^4-r^2r^3,dz,dr,dtheta
Integramos em z: integral0^4-r^2dz = 4-r^2

Passo 3

O integral reduz-se a
integral0^2piintegral0^2r^3(4-r^2),dr,dtheta =2piintegral0^2(4r^3-r^5),dr =2pil[r^4-tfracr^66r]0^2 =2pil(16-tfrac646r) =32pi3

Passo 4

Para
integral0^3integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2integral0^9-x^2-y^2x,z,dz,dy,dx
usamos x=rcostheta, logo x,zto rcostheta,z e dV=r,dz,dr,dtheta dá integrando r^2costheta,z. A projeção é o semicirculo 0<= r<=3, thetain[-tfracpi2,tfracpi2] e 0<= z<=9-r^2. Então
integral-pi2^pi2!!integral0^3!!integral0^9-r^2r^2costheta,z,dz,dr,dtheta
Integramos em z e em theta:
integral0^9-r^2z,dz =tfrac(9-r^2)^22,
integral-pi2^pi2costheta,dtheta =2

Passo 5

Fica
2cdottfrac12integral0^3r^2(9-r^2)^2,dr =integral0^3(81r^2-18r^4+r^6),dr =l[27r^3-tfrac185r^5+tfracr^77r]0^3 =583235

Resposta

32pi3 \quad e \quad 583235

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