Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=x^4-x^2, y=1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x^4 - x^2
e
y = 1 - x^2
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, usando integração definida.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas curvas, resolvendo
x^4 - x^2 = 1 - x^2
Isolando, fica
x^4 = 1
logo
x = pm 1
Em cada um desses valores de x, o y comum vale y=1 - (,pm1,)^2=0. Portanto as curvas se encontram em (-1,0) e em (1,0).

Passo 3

Para decidir qual curva está por cima no intervalo [-1,1], compare em, por exemplo, x=0:
yparábola=1-0^2=1, yquartica=0^4-0^2=0 á
Logo em [-1,1] temos
ysuperior = 1 - x^2, yinferior = x^4 - x^2
O esboço é uma região simétrica em relação ao eixo y, fechada entre x=-1 e x=1.

Passo 4

A área é dada por
Área = integralx=-1^1 l[(1 - x^2) - (x^4 - x^2)r],dx = integral-1^1 l(1 - x^4r),dx Á
Como a função 1 - x^4 é par, podemos escrever
Área = 2 integral0^1 (1 - x^4),dx = 2l[x - tfracx^55r]0^1 = 2l(1 - tfrac15r) = tfrac85 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é tfrac85.

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