Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=x^4, y=-x-1, x=-2 x=0

Passo 1

O enunciado pede que esboçemos a região limitada pelas curvas y=x^4, y=-x-1 e as retas verticais x=-2 e x=0, e que calculemos sua área. O conteúdo envolvido é a aplicação de integração definida para determinar área entre duas curvas.

Passo 2

Para esboçar, avaliamos as curvas nos extremos do intervalo. Em x=-2, y=x^4=16 e y=-x-1=1. Em x=0, y=x^4=0 e y=-x-1=-1. Logo, para todo xin[-2,0] vale x^4>-x-1, ou seja, y=x^4 é a fronteira superior e y=-x-1 é a fronteira inferior. As retas x=-2 e x=0 fecham lateralmente a região, formando um “túnel” entre a curva e a reta.

Passo 3

A área da região é dada pela integral da diferença entre as fronteiras superior e inferior de x=-2 até x=0:
Área = integral-2^0 l(x^4 - l(-x-1r)r),dx = integral-2^0 l(x^4 + x + 1r),dx Á

Passo 4

Calculando a primitiva:
integral l(x^4 + x + 1r),dx = x^55 + x^22 + x + C
Avaliando de -2 a 0:
[x^55 + x^22 + x]-2^0 = (0+0+0);-;l(-tfrac325 + 2 - 2r) = 325

Resposta

A área da região é 325.

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