Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y^2=x, y=x+5, y=-1 y=2

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região limitada pelas curvas
,y^2 = x,
,y = x + 5,
,y = -1 e
,y = 2.
O tema é o cálculo de área de uma região plana usando integrais definidas; vamos reescrever as fronteiras como funções de y, identificar os limites em y e usar
A = integralymin^ymaxl(xdireita-xesquerdar),dy

Passo 2

Reescrevendo as curvas em função de y:
  • A parábola y^2 = x xpar = y^2
  • A reta y = x + 5 pode ser isolada em x: xreta = y - 5
As linhas horizontais y=-1 e y=2 indicam que a região é percorrida por y de -1 até 2.

Passo 3

Para cada yin[-1,2] temos
xreta = y-5 e xpar = y^2
Como para -1<= y<=2 vale y-5 < y^2, a fronteira esquerda é x=y-5 e a direita é x=y^2. Logo
A = integraly=-1^2l(y^2 - (y-5)r),dy = integral-1^2l(y^2 - y + 5r),dy

Passo 4

Calculando a integral:
integrall(y^2 - y + 5r),dy = y^33 - y^22 + 5y
Avaliaremos de -1 a 2:
F(2) = 83 - 2 + 10 = 83 + 8 = 323, F(-1) = -13 - 12 - 5 = -356
Portanto
A = F(2) - F(-1) = 323 - l(-tfrac356r) = 64 + 356 = 996 = 332

Resposta

A = 332

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