Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=x, y=sen(x), x=-pi4, x=pi2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x,; y = sin(x),; x = -pi4 e x = pi2.
O conteúdo usado aqui é o cálculo de área entre curvas, usando integrais definidas e, se necessário, separando em subintervalos quando as funções trocam de posição (quem fica “por cima” e quem fica “por baixo”).

Passo 2

Vamos achar os pontos em que as curvas se cruzam dentro de l[-tfracpi4,tfracpi2r].
Resolvendo
sin(x)=x
sabemos que a única solução real próxima é x=0. Logo, as curvas se intersectam em x=0, onde ambas valem 0.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima em cada pedaço:
– Para xinl[-tfracpi4,0r], escolhemos um valor-teste, por exemplo x=-tfracpi4:
sin(-tfracpi4)=-tfracraiz22approx-0,707 e x=-tfracpi4approx-0,785.
Assim sin(x)>x nesse trecho.
– Para xinl[0,tfracpi2r], escolha x=tfracpi2:
sin(tfracpi2)=1 e x=tfracpi2approx1,571, logo x>sin(x) nesse trecho.

Passo 4

Com isso, a área A é
A=integral-pi/4^0l[sin(x)-xr],dx;+;integral0^pi/2l[x-sin(x)r],dx

Passo 5

Calculemos a primeira integral:
I1=integral-pi/4^0sin(x),dx;-!integral-pi/4^0x,dx =l[-cos(x)r]-pi/4^0;-;l[tfracx^22r]-pi/4^0
Avaliações:
[-cos(0)-(-cos(-tfracpi4))] ;=;-1+ tfracraiz22, l[0-tfrac(-pi/4)^22r];=;-,tfracpi^232
Portanto
I1=l(tfracraiz22-1r)+tfracpi^232

Passo 6

Agora a segunda integral:
I2=integral0^pi/2x,dx;-!integral0^pi/2sin(x),dx =l[tfracx^22r]0^pi/2;-;l[-cos(x)r]0^pi/2
Avaliações:
l(tfrac(pi/2)^22-0r)=tfracpi^28, l[-cos(tfracpi2)+ cos(0)r]=0-1=-1
Logo
I2=tfracpi^28-1

Passo 7

Somando I1 e I2:
A=I1+I2 =l(tfracraiz22-1+tfracpi^232r) +l(tfracpi^28-1r) =tfracraiz22-2+tfracpi^232l(1+4r) =tfracraiz22-2+tfrac5pi^232

Resposta

A=5pi^232+raiz22-2

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