Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pelas curvas
;
,;
e
.
O conteúdo usado aqui é o cálculo de área entre curvas, usando integrais definidas e, se necessário, separando em subintervalos quando as funções trocam de posição (quem fica “por cima” e quem fica “por baixo”).
O conteúdo usado aqui é o cálculo de área entre curvas, usando integrais definidas e, se necessário, separando em subintervalos quando as funções trocam de posição (quem fica “por cima” e quem fica “por baixo”).
Passo 2
Vamos achar os pontos em que as curvas se cruzam dentro de
.
Resolvendo
Resolvendo
sabemos que a única solução real próxima é
. Logo, as curvas se intersectam em
, onde ambas valem
.
Passo 3
Precisamos saber qual função está acima em cada pedaço:
– Para , escolhemos um valor-teste, por exemplo
:
e
.
Assim nesse trecho.
– Para , escolha
:
e
, logo
nesse trecho.
– Para
Assim
– Para
Passo 4
Com isso, a área
é
Passo 5
Calculemos a primeira integral:
Avaliações:
Portanto
Passo 6
Agora a segunda integral:
Avaliações:
Logo
Passo 7
Somando
e
: