Resolva as seguintes inequações exponenciais:
7^x+1x-1: 7^x-1x+1<raiz343

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
7^x+1x-1 : 7^x-1x+1 < raiz343
O conteúdo aqui é manipular potências de mesma base e depois resolver uma inequação racional. Vamos usar a lei de potências
a^ma^n=a^m-n
e a monotonicidade de a^u quando a>1.

Passo 2

Aplicando a divisão de potências na base 7, obtemos
7^x+1x-1 : 7^x-1x+1 =7^x+1x-1-x-1x+1
Logo a inequação vira
7^x+1x-1-x-1x+1<raiz343

Passo 3

Expressamos raiz343 como potência de base 7:
343=7^3Longrightarrowraiz343=7^32
Como 7>1, a função 7^t é crescente, então podemos comparar diretamente os expoentes:
x+1x-1-x-1x+1<32

Passo 4

Calculamos a diferença de frações no lado esquerdo:
x+1x-1-x-1x+1 =(x+1)^2-(x-1)^2(x-1)(x+1) =4xx^2-1
A inequação fica
4xx^2-1<32,
com a restrição de domínio xneq1 e xneq -1.

Passo 5

Passamos tudo para o mesmo membro:
4xx^2-1-32<0 Longrightarrow 8x-3(x^2-1)2(x^2-1)<0 Longrightarrow -3x^2+8x+3x^2-1<0
Fatoramos o numerador e o denominador:
-3x^2+8x+3=-(3x^2-8x-3)=-(3x+1)(x-3), x^2-1=(x-1)(x+1)
Então a expressão é
-(3x+1)(x-3)(x-1)(x+1)<0

Passo 6

Fazemos o estudo de sinais nos pontos críticos x=-1, -tfrac13, 1, 3. O sinal da fração é negativo em
(-infty,-1),cup,l(-tfrac13,1r),cup,(3,infty),
lembrando de excluir x=-1 e x=1 do domínio e de não incluir x=-tfrac13 nem x=3 pois anulariam o numerador.

Resposta

boxed(-infty,-1),cup,l(-tfrac13,1r),cup,(3,infty)

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