Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico, indicando sua altura e largura. Em seguida, determine a área da região.
y=1+x^3, y=2-x, x=-1, x=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ,y=1+x^3, ,y=2-x, ,x=-1 e ,x=0. Isso é um problema de cálculo de área por integração de funções em coordenadas cartesianas, e vamos precisar escolher a melhor variável de integração e montar a integral da diferença entre a curva de cima e a de baixo.

Passo 2

Para cada x entre -1 e 0, a parte inferior da região é dada por
yinf = 1 + x^3,
e a parte superior é
ysup = 2 - x
Como as fronteiras verticais são x=-1 e x=0, a região é fácil de descrever integrando em x. Logo, escolhemos integrar em relação a x.

Passo 3

Um retângulo aproximante típico tem largura De<a x e altura
a<ura = ysup - yinf = (2 - x) - (1 + x^3)
O elemento de área é
De<a A approx l[(2 - x) - (1 + x^3)r],De<a x

Passo 4

Passando ao limite De<a xto0, a área total é
A = integralx=-1^0 l[(2 - x) - (1 + x^3)r],dx = integral-1^0 l(1 - x - x^3r),dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral (1 - x - x^3),dx = x - x^22 - x^44
e avaliamos de -1 a 0:
[x - x^22 - x^44]-1^0 = l(0 - 0 - 0r) - l(-1 - tfrac12 - tfrac14r) = 0 - l(-tfrac74r) = tfrac74

Resposta

A área da região é tfrac74.

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