Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a
ou a
. Desenhe um retângulo aproximante típico, indicando sua altura e largura. Em seguida, determine a área da região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Isso é um problema de cálculo de área por integração de funções em coordenadas cartesianas, e vamos precisar escolher a melhor variável de integração e montar a integral da diferença entre a curva de cima e a de baixo.
Passo 2
Para cada
entre
e
, a parte inferior da região é dada por
e a parte superior é
Como as fronteiras verticais são
e
, a região é fácil de descrever integrando em
. Logo, escolhemos integrar em relação a
.
Passo 3
Um retângulo aproximante típico tem largura
e altura
O elemento de área é
Passo 4
Passando ao limite
, a área total é
Passo 5
Agora calculamos a integral:
e avaliamos de
a
:
Resposta
A área da região é
.